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capitolo xi — § 71-72

ficando $Y'>0$); poi $Y$ decresce fino al punto di minimo, per poi crescere di nuovo tendendo a $+\infty$ per $X=+\infty$.

Per trovare i flessi si deve risolvere la $Y''=6X=0$.

Se ne deduce $X=0$, il quale è certo un flesso, perchè $Y'''=6\not =0$.

Con la $x=X-a$ si ritorna all'antica variabile $x$.

L'allievo illustri col disegno l'andamento dalle curva in tutti i casi ($p>0$, $p=0$, $p<0$) anche per qualche valore numerico in particolare delle <$a$, $b$, $c$.

Il lettore veda in quanti punt inei varii casi la nostra curva incontra l'asse delle $X$: punti, che saranno le radici reali dell'equazione $X^{2}+pX+q=0$¹ . E confronti coi risultati del § 10, esaminando a quali disuguaglianze le $p$, $q$ soddisfano nei varii casi,

Applicazione.

Sia $y=f(x)$ lo spazio percorso da un punto $M$ mobile su una retta $r$ all'istante $x$. Come si può, dall'esame della curva $y=f(x)$ (che viene spesso tracciata automaticamente in casi pratici, come ad esempio nel varo di una nave) determinare in quali istanti la velocità di $M$ raggiunge il massimo o il minimo valore?

Ris. Basta determinae quali valori di $x$, a cui corrisponde un flesso della nostra curva.

§ 72. — Metodo di Newton-Fourier.

α) Lemma. Se $\mathrm {AB}$ è un arco di ccurva $\mathrm {y=f(x)}$ e se $\mathrm {f''(x)}$ è finita, non è mai nulla e conserva lo stesso segno nell'arco considerato, allora l'arco $\mathrm {AB}$ è tutto interno al triangolo

1. Se il valore massimo $\left({\text{per}}X=-{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\right)$ della $Y$ è negativo, la nostra curva incontra in un solo punto $\left({\text{a destra del punto di minimo}}X=+{\sqrt {\frac {p}{3}}}\right)$l'asse delle $x$. Un risultato simile si ha se il valore minimo della $Y$ è positivo. In tali casi la nostra equazione ha una sola radice reale. Se il valore minimo di $Y$ è negativo, quello massimo è positivo, vi sono tre radici reali poste rispettivamente negli intervalli

   $\left(\infty ,-{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\right)$, $\left(-{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}},+{\sqrt {+{\frac {p}{3}}}}\right)$, $\left(+{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}},+\infty \right)$.