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massimi, minimi, flessi

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rettilineo $\mathrm {ABD}$ formato dalla corda $\mathrm {AB}$ e dalle tangenti in $\mathrm {A}$ e in $\mathrm {B}$ (fig. 29).

Questo teorema è geometricamente intuitivo, perchè nelle attuali ipotesi l'arco $y=f(x)$ volge la sua concavità sempre da una stessa parte . Essa si dimostra rigorosamente cosi.

Fig. 29. In due punti distinti dell'arco $AB$ le tangenti dell'arco non possono essere parallele, perchè i valori corrispondenti di $f'(x)$ sarebbero uguali; e, per il teorema di Rolle, in un punto intermedio sarebbe $f''=0$ contro l'ipotesi.

L'arco $AB$ non ha con la corda $AB$ comune (oltre ai p unti $A$, $B$) alcun altro punto $C$; perchè altrimenti per il teorema della media esisterebbe nell'arco $AC$ un punto $E$, e nell'arco $CB$ un punto $F$, in cui le tangenti all'arco sarebbero parallele ad $AB$ e quindi parallele tra di loro.

Così pure l'arco $AB$ non può avere, oltre al punto $A$, comune alcun altro punto $C$ con la tangente in $A$; altrimenti nell'arco $AC$ vi sarebbe un punto intermedio $E$, ove la tangente all'arco sarebbe parallele alla tangente in $A$.

E altrettanto dicasi per la tangente in $B$. Quindi il nostro arco, o è tutto interno al triangolo $ADB$, oppure, pure essendo interno all'angolo $A(D)B$, è posto risoetto ad $AB$ dall'altra parte di $D$. Quest'ultimo caso è però da escludersi, perchè il nostro arco deve essere interno alla striscia limitata dalle normali tirate dai punti $A$, $B$ all'asse delle $x$: e perciò l'intersezione $D$ delle due tangenti in $A$ e in $B$ è interna a tale striscia e cade rispetto alla corda $AB$ dalla stessa banda dell'arco $AB\,\,\,\,\,$ c.d.d.

β) Sia $f(x)$ una funzione finita e continua nell'intervallo da noi considearto con derivate prime e seconde finite e continue.

Fig. 30. I punti $x=a$ che la curva $y=f(x)$ ha comuni con l'asse delle $x$ sono i punti $a$ per cui $f(a)=0$, o, come si suol dire, solo le radici dell'equazione $f(x)=0$¹ (fig. 30).

Se per $x=b$, ed $x=c$ la funzione $f(x)$ assume valori di segno opposto, essa assumerà (teor. 3°, pag. 135) nell'intervallo ($b$, $c$) ogni valore intermedio e quindi anche il valore zero.

Se cioè $\mathrm {f(b)}$ e $\mathrm {f(c)}$ sono di segno opposto, nell'intervallo $\mathrm {(b,c}$ esiste almeno una radice $\mathrm {A}$ dell'equazione $\mathrm {f(x)=0}$. Questo

1. Qui si parla delle radici dell'equasione $\mathrm {f(x)=0}$ e della curva di equazione $\mathrm {y=f(x)}$. Il lettore inesperto noti che non si parla della linea di equazione $f(x)=0$ che si scompone in rette $x={\text{cist}}$.!