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| 240 | Capitolo xii — § 74 |
Se invece non conosciamo per nessun istante la posizione i (non sappiamo donde e a che ora è partito il treno ), allora, pur conoscendone la velocità ad ogni istante , non possiamo dire dove si trovi all'istante . ma possiamo ciononostante sapere quale spazio abbia percorso il punto tra due istanti distinti , ; in altre parole tale spazio è perfettamente determinato, quando è nota ad ogni istante la velocità del punto .
Se , sono due punti mobili sulla stessa retta , e se essi posseggono ugual velocità all'istante , la distanza non varia col tempo (è costante); cosicchè le distanze , hanno una differenza costante, ossia differiscono solo per una costante additiva.
Analiticamente ciò significa:
Teorema di esistenza.
1° Esiste almeno una funzione che possiede una derivata continua prefissata.
2° Data , per determinare completamente , si deve dare in più il valore di per un qualche valore dela , p. es., per .
3° Data , pure non essendo completamente determinata, è però univocamente determinata la differenza dei valori , assume in due punti prefissati arbitrariamente nell'intervallo, ove è definita.
4° Se sono due funzioni che hanno la stessa derivata , la differenza è una costante. Cosicchè, per trovare rurre le funzioni che hanno derivata basta trovarna una sola ed aggiungere poi ad essa una costante arbitraria; la sarà poi la generale funzione che ha per derivata.
β) DImostriamo il primo di questi teoremi. Se , l'area del rettangoloide considerato a pagina 165 (ove si scriva al posto di )(oppure se tale area non è determinata, la sua area esterna od interna) è proprio (pag. 165) una funzione , la cui derivata vale .
Se poi assume anche valori negativi, consideriamola in un intervallo finito. Sia il suo valore minimo. Allora non è mai negativa, e, per quanto si è dimostrato, è perciò la derivata di una qualche funzione . Anche è quindi una derivata; è precisamente la derivata di
.
