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integrali

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γ) Per dimostrare le 2^a, 3^a, 4^a precedenti proposizioni, ricordiamo il teorema:

Una funzione costante ha derivata sempre nulla e il teorema reciproco (§ 63, pag. 202):

Una funzione, la cui derivata è identicamente nulla, è una costante.

Ne deduciamo come al 1. cit. (§ 63, ε):

Se $\mathrm {f_{1}(x),f_{2}(x)}$ sono due funzioni aventi la stessa derivata (determinata e finita) $\mathrm {F(x)}$ la loro differenza è una costante.

Infatti la differenza $f_{1}(x)-f_{2}(x)$ ha per derivata

$f'_{1}(x)-f'_{2}(x)=F(x)-F(x)=0$.

Essa, per il teorema citato più sopra, è dunque costante.

Geometricamente questo teor. si enuncia così: Se le tangenti alla curva $\mathrm {y=f_{1}(x),y_{2}(x)}$ in punti di uguali ascissa sono parallele, le due curve si deducono l'una dall'altra con una traslazione parallela all'asse delle $\mathrm {y}$.

Si ha dunque:

$f_{1}(x)=f_{2}(x)+k\mathrm {(} k=\mathrm {cost.} )$ (teor. 4°).

Ponendo $x=a$, e quindi $x=b$ si ha:

$f_{1}(a)=f_{2}(a)+k$

$f_{1}(b)=f_{2}(b)+k$.

Sottraendo, se ne deduce:

$f_{1}(a)-f_{1}(b)=f_{2}(a)-f_{2}(b)$.

Data cioè la funzione $F(x)$, è completamente individuata la differenza dei valori che in due punti $a$, $b$ assume una funzione $f(x)$, che abbia $F(x)$ per derivata (teor. 3°).

Una funzione $f(x)$ che abbia $F(x)$ per derivata, sarà data (teor. 4°) della formola

$f(x)=f_{1}(x)+C$,

dove $C$ è una costante indeterminata. Se noi vogliamo che per $x=a$ sia $f(x)=A$, sarà

$A=f(a)=f_{1}(a)+C$, ossia $C=A-f_{1}(a)$

e quindi               $f(x)=f_{1}(x)-f_{1}(a)+A$.

La funzione $f(x)$ è perciò completamente determinata (teor. 2°).

Sono così completamente dimostrate tutte le proposizioni enunciate qui sopra.

δ) Una conseguenza molto importante si trae da quanto abbiamo dimostrato.

10 — G. Fubini, Analisi matematica.