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capitolo xii — § 74

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Quindi anche

$\int _{a}^{x}F(x)dx+A=\int _{a}^{x}F(z)dz+A$

($A=$ costante arbitraria)

è un integrale indefinito di $F(x)$. Esso è anzi proprio quell'integrale definito che per $\mathrm {x=a}$ assume il valore $\mathrm {A}$.

E lo $\int _{a}^{x}\mathrm {f(x)dx}$ è quell'integrale indefinito che si annulla per $\mathrm {x=a}$.

ζ) Quindi:

Da un integrale indefinito $f(x)=\int F(x)dx$ si ottiene l'integrale definito $\int _{a}^{b}F(x)dx$ eseguendo la differenza $f(b)-f(a)$.

Dall'integrale definito $\int _{a}^{b}F(x)dx$ si deducono gli integrali indefiniti, ponendo $b=x$, ed aggiungendo una costante arbitraria.

Vi è uno e un solo integrale indefinito che per $x=a$ assuma il valore $A$; precisamente lo

$f(x)=\int _{a}^{x}F(x)dx+A$.

La seguente tabella, dedotta dal quadro di pag. 190, dà gli integrali definiti fondamentali.

Integrali fondamentali.

$\int \mathrm {sn} x\,dx=-{\text{cos}}\,x+C$; $\int {\text{cos}}x\,dx={\text{sen}}\,x+C$

$\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\text{arcsen}}\,x+C$; $\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}={\text{arcsen}}{\frac {x}{a}}+C$

$\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}={\text{Arctg}}\,x+C$; ${\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}{\text{arctg}}{\frac {x}{a}}+C$

$\int {\frac {dx}{x}}=\log |x|+C$; $\int {\frac {dx}{x+a}}=\log |x+a|+C$¹

1. Se $x>0$, esiste $\log x$; e dalla $(\log x)^{r}={\frac {1}{x}}$ si trae $C+\log x=\int {\frac {dx}{x}}$. Se $x<0$, esiste $\log(-x)$; e dalla $\left[\log(-x)\right]_{x}^{a}={\frac {1}{x}}$ si trae $C+\log(-x)=\int {\frac {dx}{x}}$.