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integrali

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Supponiamo che $u$ e $v$ siano due funzioni continue insieme alle loro derivate prime. Poichè

$(uv)'=u'v+uv'$,

per definizione di integrale otteniamo:

$uv=\int (u'v+uv')dx$.

Ed essendo l'integrale di una somma uguale alla somma degli integrali, è

$uv=\int u'vdx+\int uv'dx$.

Donde ricaviamo:

$\int u'vdx=uv-\int uv'dx$.

Posto $v=\Psi$, $u'=\varphi$, sarà $u=\int \varphi dx$. E si ha il:

Teorema. — Se $\mathrm {\varphi }$ è una funzione continua che ha per integrale $\mathrm {u}$, e $\mathrm {\Psi }$ è una funzione continua che ha per derivata la funzione $\mathrm {\varphi '}$ pure continua, allora l'integrale del prodotto $\mathrm {\varphi \,\Psi }$ è uguale al prodotto del secondo fattore $\mathrm {\Psi }$ per l'integrale $\mathrm {u}$ del primo diminuito dell'integrale del prodotto che si ottiene moltiplicando l'integrale trovato $\mathrm {u}$ del primo fattore per la derivata $\mathrm {\Psi '}$ del secondo fattore.

Esempi:

1° Trovare

$\int \log \,x\,dx$.

Si può scrivere:

$\int \,\log \,x\,dx=\,\int \,1\,\cdot \,\log \,x\,dx$;

e, ponendo

$\varphi =1$, donde $u=\int \,1\,\cdot \,dx\,=\,\int \,dx=x$,

               $\Psi =\log \,x$,               $\Psi '={\frac {1}{x}}$, si ottiene:

$\int \,1\cdot \,\log \,x\,dx\,=\,x\,\log \,x\,-\,\int \,x\,{\frac {1}{x}}\,dx\,=\,x(\log \,x-1)\,+\,C$.

2° Così pure si trova:

$f(a)-f(0)=\int _{0}^{a}\,1\cdot f'(x)dx=[(x-a)f'(x)]_{0}^{a}-\int _{0}^{a}(x-a)f''(x)dx=$

$af'(0)-\left[{\frac {(x-a)^{2}}{\lfloor {2}}}f''(x)\right]_{0}^{a}+\int _{0}^{a}{\frac {(x-a)^{2}}{\lfloor {2}}}f''(x)dx=$ ecc.