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262 capitolo xii — § 78

se il limite del secondo membro esiste ed è finito. Infine porremo, se è definita per ogni valore della ,

,

se il limite del 2° membro esiste ed è finito.

Così, p. es., essendo

,

è:

.

Così, poichè non esiste non ha alcun significato l'espressione 1.

Agli integrali di questo paragrafo si possono in molti casi estendere le regole di integrazione per somma, per sostituzione, per parti.

Così esiste, se esiste ed è finito il (ove abbia il segno di ) cioè il se , oppure il se . Questo limite è infinito per , finito per . Sia una funzione continua nell'intervallo (, ), il punto al più escluso</math>; esista un intorno (, di [ compreso tra e ], tale che in esso con , costanti, ed . Definiamo due funzioni e ponendo e nei punti ove ; ponendo , nei punti ove . Le , saranno funzioni continue positive o nulle (escluso al più il punto ), non superiori ad . Ora sia che variano nello stesso verso quando (che ha il segno di ) tende a zero, e perciò tendono per ad un limite. Poichè p. es. e nell'intervallo (, ) non

  1. Si lascia al lettore di completare le precedenti definizioni, per il caso che nell'intervallo (, ) o (, ) o (, ), vi fosse un numero finito di punti singolari per .