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capitolo xii — § 78

se il limite del secondo membro esiste ed è finito. Infine porremo, se $f(x)$ è definita per ogni valore della $x$ ,

$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\lim _{h=-\infty k=+\infty }\int _{h}^{k}f(x)dx$ ,

se il limite del 2° membro esiste ed è finito.

Così, p. es., essendo

$\lim _{k=+\infty }\int _{1}^{k}{\frac {1}{x^{2}}}dx=\lim _{k=\infty }\left[{\frac {1}{x}}\right]_{1}^{k}=1$ ,

è:

$\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}dx=1$ .

Così, poichè $\lim _{k=\infty }\int _{0}^{h}{\text{cos}}\,x\,dx=\lim _{k=\infty }({\text{sen}}\,k)$ non esiste non ha alcun significato l'espressione $\int _{0}^{\infty }{\text{cos}}\,x\,dx$ ^[1].

Agli integrali di questo paragrafo si possono in molti casi estendere le regole di integrazione per somma, per sostituzione, per parti.

Così $\int _{a}^{b}{\frac {1}{(x-a)^{n}}}dx$ esiste, se esiste ed è finito il $\lim _{\epsilon =0}\int _{a+\epsilon }^{b}{\frac {1}{(x-a)^{n}}}dx$ (ove $\epsilon$ abbia il segno di $b-a$ ) cioè il $\lim _{\epsilon =0}\left[{\frac {(b-a)^{1-n}}{1-n}}-{\frac {\epsilon ^{1-n}}{1-n}}\right]$ se $n\not =1$ , oppure il $\lim _{\epsilon =0}\left[\log |b-a|-\log |\epsilon |\right]$ se $n=1$ . Questo limite è infinito per $n\geq \,1$ , finito per $n<1$ . Sia $f(x)$ una funzione continua nell'intervallo ( $a$ , $b$ ), il punto $a$ al più escluso</math>; esista un intorno ( $a$ , $c$ di $a$ [ $c$ compreso tra $a$ e $b$ ], tale che in esso $|f(x)|<k{\frac {1}{(x-a)^{n}}}$ con $k$ , $n$ costanti, ed $n<1$ . Definiamo due funzioni $\varphi (x)$ e $\Psi (x)$ ponendo $\varphi (x)=f(x)$ e $Psi(x)=0$ nei punti ove $f(x)>0$ ; ponendo $\Psi (x)=-f(x)$ , $\varphi (x)=0$ nei punti ove $f(x)\leq \ ,0$ . Le $\varphi (x)$ , $\Psi (x)$ saranno funzioni continue positive o nulle (escluso al più il punto $x=a$ ), non superiori ad $|f(x)|$ . Ora sia $\int _{a+\epsilon }^{b}\varphi (x)dx$ che $\int _{a+\epsilon }^{b}\Psi (x)dx$ variano nello stesso verso quando $\epsilon$ (che ha il segno di $b-a$ ) tende a zero, e perciò tendono per $\epsilon =0$ ad un limite. Poichè p. es. $\int _{a+\epsilon }^{b}\varphi (x)dx=\int _{a+\epsilon }^{c}\varphi (x)dx+\int _{c}^{b}\varphi (x)dx$ e $\varphi (x)$ nell'intervallo ( $a+\epsilon$ , $c$ ) non

↑ Si lascia al lettore di completare le precedenti definizioni, per il caso che nell'intervallo ( $a$ , $+\infty$ ) o ( $-\infty$ , $a$ ) o ( $-\infty$ , $\infty$ ), vi fosse un numero finito di punti singolari per $f(x)$ .

[1] Si lascia al lettore di completare le precedenti definizioni, per il caso che nell'intervallo ( $a$ , $+\infty$ ) o ( $-\infty$ , $a$ ) o ( $-\infty$ , $\infty$ ), vi fosse un numero finito di punti singolari per $f(x)$ .

[1]