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integrali

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Didivederemo la dimostrazione in 3 parti:

1° La serie (2) converge. Infatti, se $M_{n}$ è il massimo di $|u_{n}(x)|$ , la nostra ipotesi equivale a questa che la serie $\Sigma _{n}M_{n}$ converge. Dalla $|u_{n}(x)\leq \,M_{n}$ segue (§ 74, pag. 243) che

$|\int _{a}^{x}u_{n}(x)dx|\leq M_{n}|x-a|$ ;

dunque la serie (2) converge assolutamente, perchè così avviene della $\Sigma M_{n}|x-a|$ , ottenuta moltiplicando per $|x-a|$ la serie convergente $\Sigma \,M_{n}$ .

2° La serie (2) è un integrale indefinito di $\mathrm {f(x)}$ . Infatti la serie (1), ottenuta derivando (2) termine a termine, è totalmente convergente, e pertanto (§ 65, pag. 206) è la derivata di (2); cioè (2) è un integrale indefinito di $f(x)$ .

3° La (2) vale proprio $\mathrm {\int _{a}^{x}f(x)dx}$ . Essendo

$F(x)=\int f(x)dx$ , è $\int _{a}^{x}f(x)dx=F(x)-F(a)$ .

Ora, ponendo $x=a$ in (2), i termini di (2) si annullano. Pertanto $F(a)=0$ ; e quindi $\int _{a}^{x}f(x)dx=F(x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ . c. d. d.¹

Si deduce tosto la seguente osservazione notevolissima. Se una funzione $f(x)$ non si sa integrare coi metodi da noi svolti, ma se si sa sviluppare $f(x)$ in una serie totalmente convergente, i cui termini hanno integrali noti p facilmente calcolabili, allora si può avere un valore approssimato di $\int _{a}^{b}f(x)dx$ , calcolando la somma degli integrali dei primi $n$ termini della serie considerare, se <math<n</math> è abbastanza grande. Nei casi più comuni basta lo sviluppo in serie di taylor. E si noti che a pag. 218 e seg. proprio con questo metodo abbiamo trovato le serie così comode per calcolare numericamente le funzioni

↑ Non vale un teorema analogo per integrali indefiniti; e ciò, perché le costanti arbitrarie che figurano nell'integrale indefinito di ogni termine di (1) potrebbero esser scelte in modo che la serie $\left[\int u_{1}(x)dx+C_{2}\right]+\left[\int u_{2}(x)dx+C_{2}\right]+...$ sia divergente.

[1] Non vale un teorema analogo per integrali indefiniti; e ciò, perché le costanti arbitrarie che figurano nell'integrale indefinito di ogni termine di (1) potrebbero esser scelte in modo che la serie $\left[\int u_{1}(x)dx+C_{2}\right]+\left[\int u_{2}(x)dx+C_{2}\right]+...$ sia divergente.

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