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Capitolo xii — § 79

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Esempio.

Voglio calcolare il tempo $T$ impiegato da un pendolo $OP$ che oscilla attorno $O$ nel passare dalla posizione $OP$ alla posizioneFig. 31. $OQ$ simmetrica di $OP$ rispetto alla verticale $OV$. Detto $\theta$ l'angolo di una retta $OM$ con $OV$, questo angolo durante l'oscillazione varierà da un minimo di $-\alpha$ ad un massimo $\alpha =V(O)Q$ (fig. 31), Posto $OP=l$ la forza viva del pendolo, quando esso si trova in $OM$, è data da ${\frac {1}{2}}ml^{3}{\frac {d\theta ^{2}}{dt^{2}}}$, se la massa vale $m$, e $t$ indica il tempo. Questa forza viva è uguale al lavoro

$mgl({\text{cos}}\,\theta -{\text{cos}}\,\alpha )$

eseguito dal pendolo nel passare dal piano orizzontale a cui appartiene $P$ al piano orizzontale cui appartiene $M$ ($g=$ costante di gravità). Quindi:

${\frac {m}{2}}l^{2}{\frac {d\theta ^{2}}{dt^{2}}}=mg({\text{cos}}\,\theta -{\text{cos}}\,\alpha )l$, donde $t={\sqrt {\frac {l}{2g}}}\int {\frac {d\theta }{\sqrt {{\text{cos}}\,\theta -{\text{cos}}\,\alpha }}}$;

e quindi $T={\sqrt {\frac {l}{2g}}}\int _{-\alpha }^{\alpha }{\frac {d\theta }{\sqrt {{\text{cos}}\,\theta -{\text{cos}}\,\alpha }}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {l}{g}}}\int _{-\{alpha}^{\alpha }{\frac {d\theta }{\sqrt {{\text{sen}}^{2}\,{\frac {\alpha }{2}}-{\text{sen}}^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}$.

Posto ${\text{sen}}{\frac {\theta }{2}}={\text{sen}}{\frac {\alpha }{2}}{\text{sen}}\varphi$, si ottiene

$T={\sqrt {\frac {l}{g}}}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-h^{2}{\text{sen}}^{2}\varphi }}}$,

dove si è posto $h={\text{sen}}{\frac {\alpha }{2}}$. È quindi $|h|<1$,

${\frac {1}{\sqrt {1-h^{2}{\text{sen}}^{2}\varphi }}}=(1-h^{2}{\text{sen}}^{2}\varphi )^{-{\frac {1}{2}}}=$

$=1+{\frac {1}{2}}h^{2}{\text{sen}}^{2}\varphi +{\frac {1.3}{2^{2}\lfloor {2}}}h^{4}{\text{sen}}^{4}\varphi +{\frac {1.3.5}{2^{2}\lfloor {3}}}h^{6}{\text{sen}}^{6}\varphi +.....$