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capitolo xiii — § 80

CAPITOLO XIII.

CALCOLO DIFFERENZIALE
PER LE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI

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§ 80. — Continuità. Derivate parziali.

$\alpha$) Al § 41, pag. 137, abbiamo già visto che alle funzioni di più variabili si può estendere sia la definiz. di limite, che quella di continuità, ecc. VOgliamo qui aggiungere un'osservazione, che per maggior chiarezza esporremo per una funzione di due sole variabili $f(x\mathrm {,} y)$. Sia essa definita in un intorno $j$ del punto $x=a$, $y=b$; e siano $x=a+ht$, $y=b+kt$($h\mathrm {,} k$ cost.) le equazioni parametriche di una rotta generica $r$ uscente da tale punto. La $f$ diventerà funzione del suo parametro $t$, se ci limitiamo a considerare i punti di $r$ interni ad $j$, e i valori ivi assunti da $f$. Questa funzione di $\mathrm {t}$ sarà continua per $\mathrm {t=0}$ (qualunque siano $h$, $k$, cioè qualunque sia la $r$ considerata uscente dal punto [($a$, $b$]) se la $\mathrm {f(x,y)}$ è continua nel punto $\mathrm {(a,b)}$.

Il teorema reciproco non è vero, cioè: Se $\mathrm {f(a+ht,b+kt)}$ è funzione continua per $\mathrm {t=0}$, qualunque siano $\mathrm {h,k}$, la $\mathrm {f(x,y)}$ può non essere continua nel punto <mayt>\mathrm(a, b)}</math>. Infatti da tale ipotesi segue che, scelto un $\mathrm {\epsilon >0}$ arbitrario, su ogni retta $r$ uscente da $8a$, $b)$ esiste un intorno $R$, tale che per i punti ($x$, $y$) di questo intorno vale la $|f(x,y)-f(a,b)|<\epsilon$. Ma al variare di $r$, può variare la lunghezza di questi intorno $R$; se anzi questa lunghezza ha limite inferiore nullo, tutti questi intorni (uno su ogni retta uscente dal punto [$a$, $b$]) non riempiono alcun inotno $j$ nel punto $(a$, $b$) nel piano; cioè non esiste alcun numero $\delta >0$ tale che ogni punto soddisfacente alle $|x-a|<\delta$, $|y-b|<\delta$ appartenga ad almeno uno di questi intorni $R$.

Sia $f(x$, $y$, $z$, ..... , $t)$ una funzione di più variabili $x$, $y$, $z$, ..... , $t$. Se diamo alla $y$, $z$, ....., $t$ valori determinabili $b$, $c$ ....., $d$, la $f$ si ridurrà una funzione della sola $x$- Se tale funzione è derivaile (rispetto alla $x$) nel punto $x=a$, no ichiameremo tale derivata la derivata parziale di $f$ rispetto alla $x$ nel punto $x=a$, $y=b$, ....., $t=d$; e la indicheremo con $f'_{m}(a$, $b$, ....., $d)$ o con $\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{x=a,y=b,.....,t=d}$. Se poi questa derivata esiste non solo in punto, ma in tutto il campo ottenuto, p. es., facendo variare math>x, y, ....., t</math> in certi intervalli, questa derivata sarà una funzione dele <math<x, y, ....., t</math> in tali intervalli; e si indicherà più semplicemente con $f'_{x}$ o con ${\frac {\partial f}{\partial x}}$. E, se si vuol ricordare, come talvolta è opportuno, che per calcolare tale derivata si è comin-