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numeri reali 13

Diremo poi somma di due numeri x, y il numero che misura il segmento somma dei due segmenti che hanno per misura x oppure y.

Si riconosce facilmente che:

Il segno della somma di due numeri è uguale al segno dell'addendo, il cui valore assoluto è più grande.

Il valore assoluto della somma di due numeri è uguale alla somma o alla differenza dei valori assoluti dei due addendi, secondo che questi hanno 0 non hanno lo stesso segno.

Queste proprietà potrebbero servire alla definizione puramente analitica della somma di due numeri.

Si estendono facilmente queste definizioni alla somma di più numeri, e si dimostrano le solite regole del calcolo algebrico.

Se A, B, C, sono tre punti qualsiasi di r, è per definizione: AB + BC = AC = — CA, ossia AB + BC + CA = 0.

Così se A1, A2, A3, A4 sono punti qualsiasi di r, è:

A1A2 + A2A3 = A1A3; A1A3 + A3A4 = A4A1 = 0


donde: A1A2 + A2A3 + A3A4 + A4A1 = 0.

Più in generale, se A1 A2....., An sono punti qualsiasi di r, è A1A2 + A2A3 + ..... An - 1An + AnA1 = 0.

E questa formola vale anche se i punti A non sono tutti distinti.

γ) Si definisce poi il prodotto di due o più numeri reali (fattori) quel numero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei fattori, e il segno + o il segno — secondo che vi è numero pari o dispari di fattori negativi.

Si definiscono poi la sottrazione e la divisione come le operazioni inverse de11’addizione e della moltiplicazione, estendendo quindi le solite regole del calcolo algebrico.

Un numero a è minore o maggiore di un altro numero b, secondochè ab è negativo o positivo.

δ) È poi evidente che se a, b sono numeri reali qualsiasi

|a ± b| ≤ |a| + |b|
|a ± b| ≥ |a| — |b|
|a ± b| ≥ |b| — |a|
|a · b| = |a| · |b|.

Se b ≠ 0, allora |a/b| = |a|/|b|.