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capitolo xiii — § 83

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menti delle $x,y$: e sia $\Delta z$ il corrispondente incremento della $z$. Sarà per il teorema della media:

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)=$

$=\Delta xf'_{x}(x+\theta \Delta x,y)+\Delta yf'_{y}(x+\Delta x,y+\Theta '\Delta y)$

                              $(0<\theta <1$}}          $(0<\theta '<1)$.

Donde

${\frac {\Delta z}{\Delta t}}=f'_{x}(x+\theta \Delta x,y){\frac {\Delta x}{\Delta t}}+f'_{y}(x+\Delta x,y+\theta '\Delta y){\frac {\Delta y}{\Delta t}}$

$\lim _{\Delta t=o}{\frac {\Delta z}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t=0}f'x(x+\Theta \Delta x,y)\lim _{\Delta t=0}{\frac {\Delta x}{\Delta t}}+$

$+\lim _{\Delta t=0}f'_{y}(x+\Delta x,y+\theta '\Delta y)\lim {\frac {\Delta y}{\Delta t}}$.

Poichè per ipotesti $x'_{t}$ e $y'_{t}$ esistono e sono finite, è $\lim _{\Delta t=0}\Delta x=\lim _{\Delta t=0}\Delta y=0$.

Ricordiamo che $f'_{x}$ e $f'_{y}$ sono finite e continue, se ne deduce che $z'_{t}=\lim {\frac {\Delta z}{\Delta t}}$ esiste, ed è dato dalla:

$z'_{t}=z'_{x}x'_{t}+z'_{y}y'_{t}={\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial z}{\partial y}}{\frac {dy}{dt}}$. (1)

Se $t$ si considera come variabile indipendente (§ 53, pag. 177), è:

$dz=z'_{t}dt$

$dx=x'_{t}dt$

$dy=y'_{t}dt$

Cosicchè per (1) $dz=z'_{t}dt={\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy$ come al precedente § 82.

Riconosciamo dunque anche in questo caso più generale (cfr. § 59, pag. 187) che il differenziale primo di una funzione è dato sempre dalla stessa formola, qualunque sia la variabile indipendente.

E si osservi che, se si scrivessero le derivare parziali coi $d$ latini, tale formola assumerebbe l'aspetto

${\frac {dz}{dt}}={\frac {dz}{dx}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {dz}{dy}}{\frac {dy}{dt}}$      ($\alpha$)

che taluno potrebbe essere tentato di semplificare, ottenendo l'assunrdo ${\frac {dx}{dt}}={\frac {dz}{dt}}+{\frac {dz}{dt}}$. Le notazioni usate in $\mathrm {\alpha }$) possono perciò portare a gravi errori di calcolo.