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calcolo differenziale per le funzioni, ecc.

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Si ha pure similmente, ricordando che $z'_{x}$, $z'_{y}$ sono funzioni di $x,y$, entrambe funzioni della $t$, che:

${\frac {dz'_{x}}{dt}}={\frac {\partial z'_{x}}{\partial x}}x'_{t}+{\frac {\partial z'_{y}}{\partial y}}y't=z''_{xx}x'_{t}+z''_{xy}y'_{t}$,

${\frac {dz'_{y}}{dt}}=z''_{xy}x'_{t}+z''_{yy}y'_{t}$

se le derivate seconde di <math<z</math> sono finite e continue.

In tale ipotesi si deduce, derivando (1), che:

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}<}{\partial x\partial y}}{\frac {dx}{dt}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}\left({\frac {dy}{\partial t}}\right)^{2}+$

$+{\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {d^{x}}{dt^{2}}}+{\frac {\partial z}{\partial y}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$. (2)

$\beta$) Analogamente, se $f$ è funzione delle $n$ variabili $x_{1},x_{2},.....x_{n}$, tutte funzioni della $t$, e sela $f$ stessa si può considerare come funzione della $t$ in un certo campo, sarà come ipotesi analoghe:

${\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}{\frac {dx_{2}}{dt}}+.....+{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}$.

$\gamma$) Sia ora $f$ una funzione, p. es., di tre variabili $x,y,z$; e siano $y,z$ funzioni della $x$. Posto $\xi =x$, la $f$ diventa funzione di $\xi ,y,z$, tutte e tre funzioni della $x$. Si ha quindi (poichè $\xi =x$ e quindi ${\frac {d\xi }{dx}}=1$):

${\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial \xi }}{\frac {d\xi }{dx}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {dz}{dx}}={\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}y'_{x}+{\frac {\partial f}{\partial z}}z'_{x}$.

Si noti anche qui quale differenza passa tra ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ e ${\frac {df}{dx}}$. Per ottenere la prima, si deriva considerando $y$ e $z$ come costanti per ottenere la seconda, si derivi considerando $y$ e $z$ come funzioni di $x$. Per esempio, se $f=x+y+z,y={\text{sen}}x,z={\text{cos}}x$, è ${\frac {\partial f}{\partial x}}=1.{\frac {df}{dx}}=1+{\text{cos}}x-{\text{sen}}x$.

$\delta$) Supponiamo $f$ funzione delle due variabili $x,y$ definite dalle:

          $x=a+ht,y=b+kt$                    ($a,b,h,k=$ costanti).