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capitolo xiii — § 83

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Si trovino le derivate di $f$ rispetto alla variabile indipendente $t$. Si ha:

${\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{t}}=h{\frac {\partial f}{\partial x}}+x{\frac {\partial f}{\partial y}}$;

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right){\frac {dx}{d\,t}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right){\frac {dy}{dt}}=h{\frac {\partial ^{f}}{\partial x^{2}}}+k{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}$;

e analoga per ${\frac {d}{dt}}{\partial f \choose \partial y}$;

${\frac {d^{2}f}{dt^{2}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {df}{dt}}\right)=h{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)+k{\frac {d}{dt}}\left({\partial f}{\partial y}\right)=$

$=h\left(h{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+f{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\right)+k\left(h{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}+k{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\right)=$

$=h^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+2hk{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}+k^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}$.

Una regola mnemonica per ricordare queste formole è di porre

${\frac {d}{dt}}f=\left(h{\frac {\partial }{\partial x}}+k{\frac {\partial }{\partial y}}\right)f$

${\frac {d^{2}f}{dt^{2}}}=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{2}f=\left(h{\frac {\partial }{\partial x}}+k{\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{2}f$

e sviluppando poi con le regole dell'algebra elementare, proprio come se ${\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}}$ fossero frazioni vere e proprie aventi per numeratore $\partial$ e per denominatore le quantità $\partial x,\partial y$¹, con l'avvertenza che alla fine del calcolo i simboli ${\frac {\partial }{\partial x}}f,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}f,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}f$, ecc., non si debbono più considerare come prodotti (ciò che non avrebbe senso), ma come uguali rispettivamente alle derivate ${\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}$, ecc. E con le medesime convenzioni si trova:

${\frac {d^{3}f}{dt^{3}}}=\left(h{\frac {\partial }{\partial x}}+k{\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{3}f$; ....., ${\frac {d^{n}f}{dt^{n}}}=\left(h{\frac {\partial }{\partial x}}+k{\frac {\partial }{\partial y}}\right)^{n}f$.

Esempio.

Sia               $f(x,y)=x^{y},x=\varphi (t),y=\psi (t)$,

cosicchè $f=\varphi (t)^{\psi (t)}$; si trova:

${\frac {d[\varphi (t)^{\psi (t)}]}{dt}}={\frac {df}{dt}}={\frac {d(x^{y})}{dt}}=(x^{y})'_{x}{\frac {dx}{dt}}+(x^{y})'_{y}{\frac {dy}{dt}}=$

$=yx^{y-1}\varphi '(t)+x^{y}\log _{e}x\psi '(t)=\varphi (t)^{\psi (t)}\left\{\psi '(t)\log \varphi (t)+\psi (t){\frac {\varphi '(t)}{\varphi (t)}}\right\}$,

come ci è già noto dal § 60, es. 3°, pag. 189.

1. In tale calcolo, $\partial x$ e $\partial y$ si debbono considerare ciascuno come un unico simbolo di una quantità, e non già come prodotto di $\partial$ per $x$ o per $y$. Così, p. es., si scriverà $\partial x^{2}$ e non $\partial ^{2}x^{2}$.