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calcolo differenziale per le funzioni, ecc. |
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§ 84. — Funzioni implicite.
) Si abbia l'equazione:
(1)
Se si può trovare una funzione 
della 
, che, sostituita in (1) al posto della 
, la soddisfi identicamente, noi diciamo che, essa è una funzione della definita in modo implicito, o più brevemente una funzione implicita della . Se si riesce a risolvere la (1) rispetto alla , si ottiene così la come funzione esplicita della .
Così, p. es., l'equazione (di un cerchio riferito a due diametri ortogonali scelti come assi) 
definisce in forma implicita due funzioni della (
), le quali sotto forma esplicita si scrivono: 
. La teoria della funzione 
che soddisfa alla 
, cioè la teoria della funzione inversa (§ 58, pag. 183) della 
è un caso particolare dello studio attuale.
La definizione testè posta si può estendere a casi più generali. Così, se, p. es., esiste una funzione 
che sostituita al posto della nella
[
].
vi soddisfi identicamente, noi diciamo che la 
è una funzione definita in modo implicito dalla precedente equazione.
Se, p. es., esistono due funzioni e 
che, sostituite nelle
, 
,
vi soddisfano identicamente, no idiciamo che le 
sono funzioni delle 
definite in modo implicito dal precedente sistema di equazioni. E si potrebbero in modo simile studiare sistemi formati da più che due equazioni.
) Sia data l'equazione (1)
Supponiamo:
1° L'equazione è soddisfatta ponendo, 
.
2° per 
ed 
(h, k</math> costanti) la 
esiste e possiede derivate prima finite continue.
3° La 
ha un valore 
differente da zero nel punto 
.
