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capitolo xiii — § 84

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E ci proponiamo dapprima il problema:

Esiste una funzione continua della $\mathrm {x}$ in un intorno abbastanza piccolo del punto $\mathrm {x_{n}}$ la quale abbia il valore $\mathrm {y_{0}}$ quando $\mathrm {x=x_{0}}$ e soddisfi all'equazione $\mathrm {(1)} z$? E come si può calcolare tale funzione in modo esplicito, risolvendo così la $\mathrm {(1)}$?

Noi risponderemo a tali domande con un metodo di approssimazione successiva (detto anche di falsa posizione). E trattiamo questo problema appunto per dare un esempio concreto di tale metodo, che nei casi pratici costituisce il più usato ed il più potente strumento per risolvere equazioni complicate o per problemi di analoga natura.

Sia ${\frac {\partial f}{\partial x}}=a,{\frac {\partial f}{\partial y}}=b$ nel punto $(x_{0},y_{0})$.È $b\not =0$ per ipotesi.

Poniamo $f(x,y)-[a(x-x_{0})+b(y-y_{0})]=\varphi (x,y)$.

Ricordando che è $f(x_{0},y_{0})=0$, troviamo che:

Per $x=x_{0},y=y_{0}$ è $\varphi (x,y)=0,{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}=0,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=0$.

La nostra equazione diventa: $a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+\varphi (x,y)=0$, donde (poichè $b\not =0$) si trae:

$y-y_{0}=-{\frac {a}{b}}(x-x_{0})-{\frac {1}{b}}\varphi (x,y)$ che scriveremo:

(2)     $y-y_{0}+c(x-x_{0})+\psi (x,y)$           $\left(-{\frac {a}{b}}=c,{\frac {\varphi }{b}}=\psi \right)$.

Dalle nostre ipotesi segue:

1° Per $x=x_{0},y=y_{0}$ sono nulle la $\psi$ e le sue derivate prime.

2° per $|x-x_{0}|\leq \,h,|y-y_{0}|\leq k$ la $\psi$ esiste, possiede derivate prime finite e continue.

Noi sappiamo che $y=y_{0}$, per $x=x_{0}$. Un primo valore approssimato della funzione $y$ cercata ci è dato dall'ipotesi che sia $y=y_{0}$ anche quando $x\not =x_{0}$. Questo valore $y=y_{0}$ sarebbe proprio la funzione cercata, soltanto se, sostituendo $y_{0}$ al posto di $y$ in (2), la (2) risultasse verificata; cioè se, sostituendo $y_{0}$ al posto di $y$ nel secondo membro di (2), si ottenesse come risultato propprio $y_{0}$. Ciò non avverrà certamente in generale. E il risultato, che indicheremo con $y_{1}$, ottenuto sostituendo $y_{0}$ al posto di $y$ nel secondo membro (2), sarà considerato come un secondo valore approssimato della funzione cercata $y$. E $y_{1}$ sarà proprio il valore della funzione cercata $y$ soltanto se, sostituendo $y_{1}$ al posto di $y$ nella (2), la (2) risulta soddisfatta, ossia se, ostituendo $y_{1}$ al posto di $y$ nel secondo membro di (2) si ottiene come risultato proprio $y_{1}$. Ma questo non avverrà generalmente; e noi assumeremo come terzo valore approssimato della funzione $y$ che si cerca precisamente il risultato $y_{3}$, che si ottiene sostituendo $y_{1}$ al posto di $y$ nel secondo membo di (2). Così continuando, troviamo i sucessivi approssimati;

     (3)               $\left\{{\begin{matrix}y_{0}=y_{0}\\y_{1}=y_{0}+c(x-x_{0})+\psi (x,y_{0})\\y_{0}=y_{0}+c(x-x_{0})+\psi (x,y_{1})\\.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\,.\\y_{n-1}=y_{0}+c(x-x_{0})+\psi (x,y_{n-2})\\y_{n}=y_{0}+c(x-x_{0})+\psi (x,y_{n-1})\end{matrix}}\right.$          ($n$ intero positivo).

Ora ci domandiamo: quando $\mathrm {n}$ è abbastanza grande, rappresenta effettivamente la $\mathrm {y_{n}}$ così definita il valore approssimato di una soluzione dell'equazione $\mathrm {(1)}$ almeno in un certo intorno del punto $\mathrm {x=x_{0}}$? In altre parole ci chiediamo: Esiste, almeno in un intorno del punto $\mathrm {x=x_{0}}$, il $\lim _{n=\infty }\mathrm {y_{n}}$? E questo limite è una funzione $\mathrm {y}$ della $\mathrm {x}$ che soddisfi alle imposte condizioni e in particolare risolva la $\mathrm {(1)}$?