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capitolo xiii — § 84

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Anzi, poichè $y$ è la somma di (8), ne segue che:

$|y-y_{0}|<M+MH+MH^{2}+.....={\frac {M}{1-H}}\leq k_{1}$,

cosicchè anche il punto $\mathrm {(x,y)}$ appartiene a $\mathrm {\delta }$. E, poichè la (8) ha termini che per $|x-x_{0}|\leq h_{1}$ sono funzioni continue, anche la $\mathrm {y}$, che ne è la somma, è una funzione continua della $\mathrm {x}$ per $\mathrm {|x-x_{0}|\leq h_{1}}$.

Ricordando che $\psi$ è funzione continua di $x,y$, si ha poi, passando al limite per $n=\infty$ nell'ultima delle (3):

$\lim _{n=\infty }y_{n}-y_{0}+c(x-x_{0})+\psi (x,\lim _{n=\infty }y_{n-1})$, ossia

$y=y_{0}+c(x-x_{0})+\psi (x,y=$, ossia

Alle domande da noi poste in principio del capoverso $\beta$ si deve comunque rispondere affermativamente. È bene evidente che $y=y_{0}$ per $x=x_{0}$. Dalle (3) si deduce subito infatti (ricordando che $\psi (x_{0},y_{0})=0$): $y_{1}=y_{0},y_{2}=y_{0},.....,y_{n}=y_{0}$ per $x=x_{0}$. Quindi anche $y=\lim _{n=\infty }y_{n}=y_{0}$ per $x=x_{0}$¹.

Ora dimostreremo che in un intorno abbastanza piccolo di $\mathrm {x=x_{0}}$ non esiste altra funzione continua $\mathrm {y}$ della $\mathrm {x}$, che per $\mathrm {x=x_{0}}$, si riduca ad $\mathrm {y_{0}}$, la quale soddisfi alla $\mathrm {f(x,y)=0}$. Se infatti vi fosse un'altra tale funzione, e noi la indicassimo con $z$, sarebbe

$<=y_{0}+c(x-x_{0})+\psi (x,z)$

$z-y_{0}=\psi (x,z)-\psi (x,y_{n-1})$

che è uguale a $z-y_{n-1}$ moltiplicando per un valore intermedio di $\psi '_{y}$.

Ora in un intorno abbastanza piccolo di $x=x_{0}<math>,<math>y_{n-1}$ e la $z$ differiscono da $y_{m}$ per meno di $k_{1}$; e un tale valore intermedio non supera quindi $H$; cosicchè $|z-y_{n}|\leq H|<-y_{n-1}|$. Sarà pure $|z-y_{n-1}|\leq H|z-y_{n-2}|$, ecc.; e se ne deduce $|z-y_{n}|\leq H^{n-1}|z-y_{1}|$. Poichè $\lim _{n=\infty }H^{n-1}=0$, se ne deduce, passando al limite per $n=\infty$, che $\lim _{n=\infty }(z-y_{n})=0$, ossia che $z=y$ c. d. d. ².

Vogliamo provare l'esistenza di ${\frac {dy}{dx}}$ per $x=x_{0}$, e calcolare tale derivata. È $f(x_{0},y_{0})=0$, E sia $\Delta y$ l'incremento che riceve la $y$, quando la $x$ riceve l'incremento $\Delta x$. Sarà $f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)=0$; e quindi anche, sottraendo,

$f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-f(x_{o},y_{0})=0$,

1. Se si volesse soltanto dimostrare l'esistenza della funzione $y$ della $x$, senza insegnare a calcolarla, si potrebbe procedere così. Essendo $f'_{n}\not =0$ per $x=0y=y_{0}$ la curva $Y=f(x_{0},X)$ tracciata nel piano $(X,Y)$, che incontra l'asse delle $X$ nel punto $X=y_{0}$, attraversa in tale punto tale asse, cosicchè $f(x_{0},y_{0}+k)$ e $f(x_{0},y_{0}-k)$ sono di segno contrario, se $k$ è abbastanza piccolo. Quindi, se $x$ è avvastanza prossimo ad $x_{0}$, anche $f'(x,y_{0}+k)$ e $f(x,y_{0}-k)$ sono di segno opposto; ed esiste perciò un punto $y$ compreso tra $y_{0}+k$ e $y_{0}-k$ tale che $f(x,y)=0$. Esiste perciò un tale valore di $y$ per ogni valore di $x$ abbastanza prossimo ad $x_{0}$.
2. Si potrebbe dimostrare questa asserzione anche così. Se $f(x,y)-f(x,z)=0$, per il teorema della media è ${\overline {f''_{n}}}[y-z]=0$, dove con ${\overline {f''_{x}}}$ indico un valore intermedio di $f'_{v}$. Se $y\not =z$ se ne deduce che questo valore intermedio ${\overline {f'_{y}}}$ è nullo. Ciò che è assurdo, perchè per $x$ abbastanza prossimo a $x_{n}$, le $y$ e le $z$ sono prossime ad $y_{0}$ e (poichè $f'_{y}(x_{0},y_{0})\not =0$, ed $f'_{x}$ è continua) la $f'_{y}$ è differente da zero in tutto un intorno del punto $(x_{0},y_{0})$.