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calcolo differenziale per le funzioni, ecc.

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ossia, per il teorema della media:

$\Delta yf'_{y}(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\theta \Delta y)+\Delta xf'_{x}(x_{0}+\theta '\Delta x,y_{0})=0$

$(0<\theta <1),(0<\theta '<1)$¹.

Poichè $y$ è funzione continua della $x$, è $\lim _{|}deltax=0\Delta y=0$. Dividendo la precedente formola per $\Delta xf'_{y}(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\theta \Delta y)$, e passando al limite per $\Delta x=0$, ossia $\Delta x=\Delta y=0$, si trova:

$\lim _{\Delta x=0,\Delta y=0}\left\{{\frac {f'_{x}(x_{0}+\theta '\Delta x,y_{0}}{f'_{y}(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\theta \Delta y)}}+{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right\}=0$.

Poichè il limite del primo addendo esiste ed è finito (è uguale a ${\frac {f'_{x}(x_{0},y_{0})}{f'_{y}(x_{0},y_{0})}}$, il cui denominatore è per ipotesi differente da zero, sarà

$\lim _{\Delta x=0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=y'_{x}={\frac {dy}{dx}}=-{\frac {f'_{x}(x_{0},y_{0})}{f'x(x_{0},y_{0})}}$.

formola che ora ritroveremo per altra via, ammettendo a priori l'esistenza di $y$ e di $y$.

Oss.Tutti questi risultati potrebbero essere falsi, se $f'y(x_{0},y_{0})=0$.

Così, p. es. si osservi che l'equazione $f=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=0$, pure essendo soddisfatta per $x=x_{0},y=y_{0}$, non ammette soluzioni reali per $x-x_{0}\not =0$. E si noti che è appunto ${\frac {\partial f}{\partial y}}=2(y-y_{0})=0$ per $y=y_{0}$. Così pure l'equazione $f=x^{2}-y^{2}=0$ è soddisfatta per $x=y=0$; ed esistono due (non una) funzioni $y=x,y=-x$, continue e nulle per $x=0$ che ad essa soddisfano. E di nuovo si verifica che $f'_{x}=2y=0$ per $y=0$.

Infine si noti che l'ultima formola si scrive di solito

(9)                              $y'_{x}={\frac {dy}{dx}}=-{\frac {f'_{x}(x,y)}{f'y(x,y)}}$

perchè essa ci dà il valore di ${\frac {dy}{dx}}$ non nel solo punto $x_{0},y_{0}$, ma in tutti i punti $(x,y)$ di un suo intorno, che soddisfano alla $f(x,y)=0$.

$\gamma$) Se noi ammettiamo l'esistenza e la derivabilità della funzione $y=\varphi (x)$ delle $x$ che soddisfa alla $f(x,y)=0$, possiamo in altro modo più semplice determinare la derivata $y'_{x}$.

Ponendo $y=\varphi (x)$ in $f(x,y)$, si ottiene una funzione $f[x,\varphi (x)]$ identicamente nulla della sola $x$ (cioè nulla per ogni valore della $x$).

[Si noti che invece la $f(x,y)$ non è identicamente nulla per tutti i valori delle $x,y$. Altrimenti sarebbe, contro l'ipotesi fatta, non solo $f'_{x}=0$, ma anche $f'_{y}=0$].

1. Da questa formola si potrebbe dedurre in altro modo che la $y$ è funzione continua della $x$, p. es. nel punto $(x_{0},y_{0})$ ossia che $\lim _{\delta x=0}\Delta y=0$. Infatti, essendo $f'_{x}$ continuo e quindi inferiore in valore assoluto ad una costante finita, è

   $\lim _{\Delta x=0}\Delta xf'_{x}(x_{0}+\theta '\Delta x,y_{0})=0$.

   Dalla formola precedente segue che anche il $\lim _{\Delta x=0}\Delta yf'_{y}(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\theta \Delta y)=0$. Poichè il limite del secondo fattore è differente da zero, sarà $\lim _{\Delta x=0}\Delta y=0$ c.d.d.