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capitolo i — § 4

$\varepsilon$) Se $G$ è una classe di numeri negativi $-m$, e se $L$, $l$, sono i limiti superiore e inferiore dei numeri $m$, allora $-L$ e $-l$ si dicono rispettivamente il limite inferiore e superiore dei numeri di $G$. Queste definizioni appariranno spontanee a chi pensi che (secondo le proprietà da noi ricordate) di due numeri negativi si considera come minore quello che è maggiore in valore assoluto.

Se $G$ è una classe che contiene sia numeri positivi $p$, sia numeri negativi $n$, si dirà limite superiore (inferiore) di $G$ il limite superiore (inferiore) dei numeri positivi $p$ (negativi $n$) che appartengono a $G$.

Anche in questo caso generale si può ripetere quanto per tali limiti si disse al § 3.

$\zeta$) Se $G$, $\Gamma$ sono due classi di numeri reali tali che il limite $\lambda$ inferiore di $G$ coincida con il limite superiore di $\Gamma$, noi diciamo che le classi $G$, $\Gamma$ sono contigue, che $G$ è la classe superiore e che $\lambda$ è il numero di separazione delle due classi. In tal caso nessun numero di $G$ può essere inferiore ad alcun numero di $\Gamma$; e, preso un intero positivo $k$ arbitrario, esiste tanto in $G$ che in $\Gamma$ almeno un numero che coincide con $\lambda$ fino alla $k^{esima}$ decimale. I due numeri così scelti in $G$ e in $\Gamma$ differiranno al più per $\textstyle {\frac {2}{10^{k}}}$.

Viceversa, se nessun numero della classe $G$ è inferiore ad un numero della classe $\Gamma$, e se per ogni numero intero positivo $k$ esistono un numero di $G$ e un numero di $\Gamma$, la cui differenza non supera $\textstyle {\frac {2}{10^{k}}}$, è ben evidente che le classi $G$, $\Gamma$ sono contigue, e che $G$ è la classe superiore.

$\eta$) La teoria delle potenze e delle radici rapidamente riassunta al § 3 si estende con qualche modificazione ai numeri negativi. Così, se $x$ è negativo, ed $n$ intero positivo, la $x^{n}$ è positiva se $n$ è pari, negativa se $n$ è dispari. Se ne deduce che, se $n$ è pari ed $x$ è negativo, il simbolo ${\sqrt[{n}]{x}}$ si deve considerare come sprovvisto di significato nell’attuale campo dei numeri reali.

E se, pure essendo $n$ pari, la $x$ è positiva, il simbolo ${\sqrt[{n}]{x}}$ ha un doppio significato. Perchè se $y$ è un numero positivo tale che $y^{n}=x$, cosicchè $y={\sqrt[{n}]{x}}$, anche $-y$ soddisfa alla analoga uguaglianza $(-y)^{n}=x$, cosicchè anche $-y$ si può con-