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14 capitolo i — § 4

ε) Se G è una classe di numeri negativi — m, e se L, l, sono i limiti superiore e inferiore dei numeri m, allora — L e — l si dicono rispettivamente il limite inferiore e superiore dei numeri di G. Queste definizioni appariranno spontanee a chi pensi che (secondo le proprietà da noi ricordate) di due numeri negativi si considera come minore quello che è maggiore in valore assoluto.

Se G è una classe che contiene sia numeri positivi p, sia numeri negativi n, si dirà limite superiore (inferiore) di G il limite superiore (inferiore) dei numeri positivi p (negativi n) che appartengono a G.

Anche in questo caso generale si può ripetere quanto per tali limiti si disse al § 3.

ζ) Se G, Γ sono due classi di numeri reali tali che il limite λ inferiore di G coincida con il limite superiore di Γ, noi diciamo che le classi G, Γ sono contigue, che G è la classe superiore e che λ è il numero di separazione delle due classi. In tal caso nessun numero di G può essere inferiore ad alcun numero di Γ; e, preso un intero positivo k arbitrario, esiste tanto in G che in Γ almeno un numero che coincide con λ fino alla kesima decimale. I due numeri così scelti in G e in Γ differiranno al più per 2/10k.

Viceversa, se nessun numero della classe G è inferiore ad un numero della classe Γ, e se per ogni numero intero positivo k esistono un numero di G e un numero di Γ, la cui differenza non supera 2/10k, è ben evidente che le classi G, Γ sono contigue, e che G è la classe superiore.

η) La teoria delle potenze e delle radici rapidamente riassunta al § 3 si estende con qualche modificazione ai numeri negativi. Così, se x è negativo, ed n intero positivo, la xn è positiva se n è pari, negativa se n è dispari. Se ne deduce che, se n è pari ed x è negativo, il simbolo si deve considerare come sprovvisto di significato nell’attuale campo dei numeri reali.

E se, pure essendo n pari, la x è positiva, il simbolo ha un doppio significato. Perché se y è un numero positivo tale che yn = x, cosicché y = , anche — y soddisfa alla analoga uguaglianza (— y)n = x, cosicché anche — y si può con-