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capitolo xiii — § 85

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Dal § 84, $\beta$, segue facilmente che esiste una tale funzione (e che noi la sappiamo anzi dare sotto forma di serie) se la (1) è soddisfatta per {{centrato|$x=x_{0},y=y_{0},z=z_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}={\text{cost.}})$ e se in un intorno di tale punto le derivate prime di $f$ sono finite e continue, e ${\frac {\partial f}{\partial z}}$ è differenze da zero.

La $z=\varphi (x,y)$ è una funzione definita da (1) in modo implicito; e noi ci proponiamo di calcolarne le derivate, senza scriverla sotto forma esplicita (senza risolvere la (1)).

Per trovare la derivata parziale ${\frac {\partial z}{\partial x}}$, bisogna considerare la $y$ come una costante, per cui la $z$ si potrà considerare come una funzione della sola $x$, e la $f=0$ come un'equazione tra le sole variabili $x,z$. Applicando i risultati precedenti si troverà quindi senz'altro ${\frac {\partial z}{\partial x}}=-{\frac {f'_{x}}{f'_{z}}}$.

Analogamente $z'_{y}=-{\frac {f'}{f'_{z}}}$.

$\beta$) Si abbiano ora due equazioni in tre variabili

$f(x,y,z)=0$,

$F(x,y,z)=0$.

Supponiamo che $f,F$ abbiano derivate prime finite e continue, che le equazioni siano soddisfatte per {{centrato|$x=x_{0},y=y_{0},z=z_{0}$, e che nel punto $(x_{0},y_{0},z_{0})$ sia

${\begin{vmatrix}f'_{y}&f'_{z}\\F'_{y}&F'_{z}\end{vmatrix}}\not =0$.

Almeno uno degli elementi di questo determinante sarà differente da zero. Se, p. es., $f'_{y}\not =0$ in $(x_{0},y_{0},z_{0})$, dalla $f=0$ potrò ottenere, risolvendo, $y=\psi (x,z)$, dove la $\psi$ è una funzione derivabile che diventa uguale a $y_{0}$ per $x=x_{0},z=z_{0}$. Sostituendo nella $F=0$ si trova:

                                             $F[x,\psi (x,z),z]=0$                                   (2)

La derivata del primo membro rispetto a $z$ è:

$F'_{y}\psi '_{z}+F'_{z}=-F'_{y}{\frac {f'_{z}}{f_{y}}}+F'_{z}={\frac {1}{f'_{y}}}{\begin{vmatrix}f'_{v}&f'_{z}\\F'_{y}&F'_{z}\end{vmatrix}}$,