E supponiamo senz'altro che esistano due funzioni derivabili che soddisfano a tali equazioni.
Vogliamo determinare le derivate. Se noi sostituiamo nelle due equazioni precedenti al posto delle , rispettivamente le funzioni si ottengono due funzioni di e di : e identicamente nulle. Le loro derivate partiali tanto rapporto a quanto rapporto a saranno quindi nulle. Se allora deriviamo la rapporto a considerandola come funzione della tutte e tre funzioni della questa derivata che, per non creare equivoci, dovremo indicare col simbolo1
per il teorema di derivazione delle funzioni di funzioni (funzioni composte) è:
Ma questa derivata, per quanto abbiamo osservato, è nulla.
Sarà quindi (poichè ):
.
Ragionando sulla funzione si otterrebbe analogamente:
.
Quest'ultima equazione con la precedente costituisce un sistema di due equazioni lineari nelle due incognite e che sono appunto (essendosi considerato costante) rispettivamente le derivate parziali rispetto a di e .
- ↑ Questa derivata è una derivata partiale, perchè si considera costante; ma non si può indicare con .
Con tale simbolo di indica ; si indica cioè la derivata che si ottiene considerando costante non solo la , ma anche le .