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calcolo differenziale per le funzioni, ecc.

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Il sistema è risolvibile con la regola di Kramer e quindi ammetterà una sola soluzione se:

${\begin{vmatrix}\left[{\frac {\partial f}{\partial z}}\right]_{z,y,t=\,{\text{cost.}}}&\left[{\frac {\partial f}{\partial t}}\right]_{z,y,t=\,{\text{cost.}}}\\\left[{\frac {\partial F}{\partial z}}\right]_{x,y,t=\,{\text{cost.}}}&\left[{\frac {\partial F}{\partial t}}\right]_{x,y,z=\,{\text{cost.}}}\end{vmatrix}}\not =0$.

Ragionamenti e risultati analoghi valgono per $z'_{y},t'_{y}$. Questo esempio di derivazione è interessante, perchè abbiamo avuto occasione di osservare quale complicazione di notazioni s'abbia quando, per non creare equivoci che potrebbero condurre a gravi errori, si vuole un simbolo di derivazione parziale che dica esplicitamente tutto e non possa prestarsi a varie interpretazioni.

L'allievo farà un'utile esercitazione, cercando di calcolare le derivate seconde.

$\delta$) Siano $f(x,y)$ e $F(x,y)$ due funzioni continue con le loro prime derivate in un campo $C$, nel quale esista una curva $\Gamma$ luogo dei punti per cui

                                   $F(x,y)=k\,(k={\text{cost,}})$                              (3)

Voglio trovare qualche condizione necessaria affinchè il valore assunto dalla $f$ in un punto $A$ di $\Gamma$ sia massimo o minimo rispetto agli altri valori assunti dalla $f$ in $\Gamma$ (in un intorno di $A$). Più brevemente cerco i massimi ed i minimi di $f(x,y)$, quando le $x,y$ sono legate alla (3). Lungo $\Gamma$ si può considerare la $y$ come una funzione della <ath>x</math> soddisfacente alla $y'_{x}=-{\frac {F'_{x}}{F'_{y}}}$ (se $F'_{y}\not =0$); e la $f$ si potrà perciò anche considerare come una funzione della sola $x$.

In uno dei punti $A$ cercati dovrà dunque esser nulla la derivata totale della $f$ rispetto alla $x$

${\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial f}{|partialy}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {1partialf}{\partial y}}{\frac {F'_{x}}{F'_{y}}}$.

Dovrà dunque essere in $A$

$f'_{x}F'_{y}-f'_{y}F'_{x}=0$,

ossia dovranno essere in $A$ compatibili le equazioni dell'incognita $\lambda$ (che supponiamo essere una costante)

$f'_{x}+\lambda F'_{x}=0$,

$f'_{y}+\lambda F'_{y}=0$.

18 — G. Fusini, Analisi matematica.