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capitolo xiii — § 87

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Se invece p. es. $a\not =0$, allora, se $\alpha ,\beta$ sono le radici di $az^{2}+2bx+c=0$, il nostro trinomio vale identicamente $a(h-\alpha k)(h-\beta k)$. Se $a\,c-b^{2}=0$ allora $\alpha =\beta$ e quindi il trinomio vale il prodotto di $a$ per un quadrato perfetto, ha quindi il segno di $a$, a meno che $h=\alpha \,k$, nel qual caso il trinomio si annulla. Se $ac-b^{2}<0$. e quindi $\alpha ,\beta$ sono numeri reali distinti (p, es, $\alpha <\beta$), allora $(h-\alpha k)(h-\beta k)$ è positivo se ${\frac {h}{k}}$ è minore di $\alpha$, ed è negativo ${\frac {h}{k}}$ è compreso tra $\alpha$ e $\beta$. Il trinomio può dunque assumere un valore di segno arbitrario.

Infine se $ac-b^{2}>0$ [e perciò $ac<b^{2}\geq \,0$ e quindi $a$ e $c$ differenti da zero e dello stesso segno] le radici $\alpha ,\beta$ della $az^{2}+2bz+c=0$ sono numeri complessi coniugati $\mu \pm i\nu$ con $\nu \not =0$. Ora il nostro trinomio $ah^{2}+2bhk+ck^{2}$ è uguale identicamente al prodotto di $a$ per

$(h+\alpha k)(h-\beta k)=(h-\lambda k^{2})+\nu ^{2}k^{2}$,

che è sempre positivo (e che potrebbe essere nullo soltanto se $\nu k=k-\lambda k=0$: ossia, essendo $\nu \not =0$, soltanto se $k=0,h=0$: valori che abbiamo escluso). Quindi il nostro trinomio ha il segno di $a$. Ciò che si può verificare osservando anche che:

$ah^{2}+2bhk+ck^{2}={\frac {1}{a}}\left[(ah+bk)^{2}+(ac+b^{2})k^{2}\right].$.

$\beta$) Si suol dire che una funzione $f(x,y)$ di due variabili ha in un punto $A$ interno al campo ove $f(x,y)$ è definita, un massimo od un minimo (relativo) se esiste un intorno di $A$, nei punti del quale la funzione assume rispettivamente valori tutti non maggiori, o tutti non minori che nel punto $A$ (cfr. la defin. analoga di pag. 223). Se ($x_{0},y_{0}$) sono le coordinate di $A$, dovrà cioè esistere un numer opositivo $l$, tale che per $|h|<l,|k|<l$ sia rispettivamente

  $f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0}=\leq \,o$     (se $A$ è un massimo),

  $f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})\geq \,0$     (se $A$ è un minimo)

In tal caso la funzione $f(x_{0},y)$ che si ottiene ponendo $x=x_{0}$ ha un massimo od un minimo per $y=y_{0}$, e quindi, se possiede derivata prima $f'_{y}$ finita e determinata, questa derivata è nulla (§ 70, pag. 226) nel punto $A$. Risultato analogo si prova per $f'_{y}$.

Condizioni necessarie (ma non sufficienti) affinchè $\mathrm {f(x,y)}$ abbia nel punto $\mathrm {A}$ interno al campo ove la $\mathrm {f}$ ha derivate prime determinate e finite, abbia un massimo o un minimo è che ivi queste derivate $\mathrm {f'x}$ ed $\mathrm {f'_{y}}$ siano nulle.