Se invece p. es.
, allora, se
sono le radici di
, il nostro trinomio vale identicamente
. Se
allora
e quindi il trinomio vale il prodotto di
per un quadrato perfetto, ha quindi il segno di
, a meno che
, nel qual caso il trinomio si annulla. Se
. e quindi
sono numeri reali distinti (p, es,
), allora
è positivo se
è minore di
, ed è negativo
è compreso tra
e
. Il trinomio può dunque assumere un valore di segno arbitrario.
Infine se
[e perciò
e quindi
e
differenti da zero e dello stesso segno] le radici
della
sono numeri complessi coniugati
con
. Ora il nostro trinomio
è uguale identicamente al prodotto di
per
,
che è sempre positivo (e che potrebbe essere nullo soltanto se
: ossia, essendo
, soltanto se
: valori che abbiamo escluso). Quindi il nostro trinomio ha il segno di
. Ciò che si può verificare osservando anche che:
.
) Si suol dire che una funzione
di due variabili ha in un punto
interno al campo ove
è definita, un massimo od un minimo (relativo) se esiste un intorno di
, nei punti del quale la funzione assume rispettivamente valori tutti non maggiori, o tutti non minori che nel punto
(cfr. la defin. analoga di pag. 223). Se (
) sono le coordinate di
, dovrà cioè esistere un numer opositivo
, tale che per
sia rispettivamente
(se
è un massimo),
(se
è un minimo)
In tal caso la funzione
che si ottiene ponendo
ha un massimo od un minimo per
, e quindi, se possiede derivata prima
finita e determinata, questa derivata è nulla (§ 70, pag. 226) nel punto
. Risultato analogo si prova per
.
Condizioni necessarie (ma non sufficienti) affinchè
abbia nel punto
interno al campo ove la
ha derivate prime determinate e finite, abbia un massimo o un minimo è che ivi queste derivate
ed
siano nulle.