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capitolo xiii — § 87 — calcolo differenziale, ecc.

il primo membro di (1), avranno pertanto (confronta il lemma) il segno di ${\bar {f''}}_{xx}$, cioè di $f''_{xx}$, come dovevasi dimostrare.

Se $f'_{x}=f'_{y}=0$, ma $f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}<0$, il punto considerato non è di massimo nè di minimo.

Nulla si può affermare senza studii più minuti per un punto, in cui $f'_{x}=f'_{y}=f''_{xx}f''_{yy}-{f''}_{xy}^{2}=0$.

Il teorema relativo alle condizioni sufficienti si dimostra anche osservando che (1) si può scrivere nella forma

$f(x_{0}+h,y_{0}+k)-f(x_{0},y_{0})={\frac {1}{2}}\left\{f''_{xx}(x_{0},y_{0})h^{2}+2f''_{xy}hk+f''_{yy}k^{2}\right\}+$

$+\epsilon h^{2}+2\gamma hk+\delta k^{2}$,

ove $\varepsilon ,\gamma ,\delta$ tendono a zero per $h=k=0$. Posto $h=\rho \cos \theta ,k=\rho \operatorname {sen} \theta$, il secondo membro diventa la somma di

(2)	${\frac {1}{2}}\rho ^{2}\{\cos ^{2}\theta f''{xx}+2\operatorname {sen} \theta \cos \theta f''_{xy}\operatorname {sen} ^{2}\theta f''_{yy}\}+$
	$+\rho ^{2}\{\epsilon \cos ^{2}\theta +2\gamma \operatorname {sen} \theta \cos \theta +\delta \operatorname {sen} ^{2}\theta \}$.

Il coefficiente di $\rho ^{2}$ nel primo addendo ha il segno di $f''_{xx}$ e il suo minimo valore assoluto è maggiore di zero. Il coefficiente di $\rho ^{2}$ nel secondo membro è invece infinitesimo (per $h=k=0$). Dunque per $|h|,|k|$ abbastanza piccoli la (2) ha il segno del primo addendo, cioè ha il segno di $f''_{xx}$.

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