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prima estensione del calcolo integrale, ecc.

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Quindi

$\left(\int _{|alpha}^{\beta }f(x,y)dx\right)'_{y}=\lim _{h=0}\left[\int _{\alpha }^{\beta }\{f'_{y}(x,y)+{\frac {h}{2}}f''_{yy}(x,y+\theta h)\}dx\right]$

$=\int _{\alpha }^{\beta }f'_{y}(x,y)dx+\lim _{h=0}{\frac {h}{2}}\int _{\alpha }^{\beta }f''_{yy}(x,y+\theta h)dx$.

Poichè

$|f''_{yy}|<H$ e quindi $\left|\int _{\alpha }^{\beta }f''_{yy}(x,y+\theta h)dx\right|<\left|H\int _{\alpha }^{\beta }dx\right|=|H(\beta -\alpha )$,

sarà:

$\lim _{h=0}\left|{\frac {h}{2}}\int _{\alpha }^{\beta }f''_{yy}(x,y+\theta h)dx\right|=0$.

E la nostra formola diventa appunto:

          $\left(\int _{\alpha }^{\beta }f(x,y)dx\right)'_{y}=\int _{\alpha }^{\beta }f'_{y}(x,y)dx$                     ($\alpha ,\beta =$ cost.).

Generalizzazione.

Si può estendere la formola precedente al caso che $\alpha$ e $\beta$ siano funzioni della $y$, perchè $\alpha '_{y}$ e $\beta '_{y}$ esistono e siano finite.

Premetteremo alcune osservazioni.

Si voglia derivare rispetto al limite superiore $x$ l'integrale

                                                  $\int _{\alpha }^{x}\varphi (z)dz$           ($\alpha =$ cost.)

Ricordando che un integrale definito è indipendente dal nome della variabile di integrazione avremo:

$\left[\int _{\alpha }^{x}\varphi (z)9dz\right]'_{x}=\left[\int _{\alpha }^{x}\varphi (x)dx\right]'_{x}=\varphi (x)$;

cioè la derivata rispetto al limite superiore di un integrale di una funzione di una variabile è uguale alla funzione che è sotto il segno di integrale, dove al posto della variabile di integrazione si scriva il limite superiore.

Analogamente, dovendosi calcolare la

$\left[\int _{x}^{\alpha }\varphi (z)dz\right]'_{x}$,

potremo scrivere:

$\left[\int _{x}^{\alpha }\varphi (z)dz\right]'_{x}=\left[\int _{\alpha }^{x}\varphi (x)dx\right]'_{x}=-\varphi (x)$;

cioè la derivata rispetto al limite inferiore di un integrale di una funzione di una variabile è uguale alla funzione che è sotto il segno di integrale cambiata di segno, dove al posto della variabile di integrazione si scriva il limite inferiore.

Ci varremo di questi risultati per eseguire il calcolo della

$\left[\int _{\alpha }^{\backepsilon }f(x,y)dx\right]'_{y}$