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prima estensione del calcolo integrale, ecc.

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o, ciò che è lo stesso, una funzione il cui differenziale $df$ è uguale a

                                                  $Mdx+Ndy$,                              (2)

dove $M,N$ sono funzioni prefissate. Abbiamo visto che il problema citato per le funzioni di una sola variabile è sempre risolubile se $F(x)$ è continua, p. es., nell'intervallo $x_{0}\leq \,x\leq \,b$; e che la $f$ è determinata a meno di una costante additiva $k$. Si può, p. es., porre

$f(x)=\int _{x_{0}}^{x}F(x)dx+k$,

dove $k$ è il valore (scelto ad arbitrio) di $f(x)$ oer $x=x_{0}$.

Nel caso delle funzioni di due variabili noi proveremo invece che non sempre esiste una funzione di due variabili noi proveremo invece che non sempre esiste una funzione $f(x,y)$ soddisfacente alle (1) (anche supposto che le $M,N$ siano continue insieme alle loro derivate), ossia che non sempre (2) è il diffrenziale di una funzione $f(x,y)$, o, come si suol dire più brevemente, che non sempre (2) è un differenziale esatto.

Se infatti le derivate prime delle $M,N$ sono cintinue, dalle (1) si deduce, derivando la prima rispetto ad $y$ e la seconda rispetto ad $x$, che:

                              ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial M}{\partial y}}$,          ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$.

Essendo, per ipotesi, i secondi membri funzioni continue, per il teorema (§ 80, pag. 271) dell'invertibilità dell'ordine delle derivazioni, essi sono uguali, cioè è

                                                  ${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{partialx}}$.                              (3)

La (3) è dunque una condizione necessaria affinchè il sistema delle (1) sia risolubile, ossia affinchè (2) sia un differenziale esatto [sia il differenziale di una funzione $f(x,y)$], (naturalmente se $M,N,M'_{y},N'_{x}$ sono continue).

Dimostreremo vivecersa che in casi generalissimi tale condizione è anche sufficiente. Se la (3) è soddisfatta, anche nel caso attuale di funzioni $f(x,y)$ di due variabili, la $f(x,y)$ è determinata a meno di una costante additiva$k$: p. es., il valore della $f(x,y)$ in un punto $A=(x_{0},y_{0})$ prefissato.

$\mathrm {\beta }$) Cominceremo da un caso particolare: il caso cioè che le variabili sieno separate. Con questa frase si indica il caso che