Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/318

302

capitolo xiv — § 90-91

od anche la somma dell'integrale di $Mdx+Ndy$ esteso ad $AC$ e dall'integrale analogo esteso a $CB$. Naturalmente bisogna definire il significato di quesste nuove frasi: integrale di $Mdx+Ndy$ esteso ad $AC$ od a $CB$. Noi intendiamo con l'integrale di $Mdx+Ndy$ esteso, p. es., ad $AC$ l'integrale dell'espressione che si deduce da $\mathrm {Mdx+Ndy}$ ponendo al psto della $\mathrm {y}$ e della $\mathrm {dy}$ i valori che si deducono dalla equazione $\mathrm {y=y_{0}=cost.}$ di $AC$, cioè $y=y_{0},dy=0$, ed estendendo l'integrazione dell'ascissa $x_{0}$ di $A$ dell'ascissa $x$ di $C$- Cioè l'integrale di $Mdx+Ndy$ esteso ad $AC$ vale il primo addendo del secondo membro di (6); mentre invece il secondo addendo si trova, con definizione analoga, uguale all'integrale di $Mdx+Ndy$ esteso a $CB$.

La (6) si può dunque interpretare così:

La differenza tra il valore $\mathrm {f}$ nel punto $\mathrm {(x,y)}$ ed il valore della $\mathrm {f}$ nel punto $\mathrm {(x_{0},y_{0})}$ vale l'integrale $\mathrm {df}$ esteso ad una spezzata di due lati paralleli agli assi coordinati congiungente il punto $\mathrm {x_{0},y_{0})}$ al punto $\mathrm {(x,y)}$ (se $f'_{x,f'_{y}}$ sono continue).

Questo teorema è la generalizzazione della formola

$\varphi (x)-\varphi (x_{0})=\int _{x_{0}}^{x}\varphi =\int _{x_{0}}^{x}\varphi '(x)dx$

valida per le funzioni $\mathrm {\varphi (x)}$ di una sola variabile (a derivata continua).

§ 91. — Integrali curvilinei¹

I precedenti risultati appaiono incompleti. Infatti:

1° Perchè dare tanta importanza alla spezzata $ACB$ unente i punti $A,b$ piuttosto che a unìaltra curva congiungente i punti stessi? Già, scambiando nelle precedenti considerazioni le $x,y$, giungeremmo a teoremi analoghi, in cui alla $ACB$ è sostituita un'altra spezzata $ADB$, il cui primo lato $AD$ è parallelo all'asse delle $y$, il secondo lato <math<DB</math> all'asse delle $x$.

2° Il secondo membro di (6) ha un significato, anche se non è soddisfatta la $M'_{y}=N'_{x}$. Quale ne è il senso in tali casi più generali?

Il modo migliore di dare un'esauriente risposta a tali domande è di porre la seguente definizione. Sia $AB$ a un arco $\Gamma$ di curva pensato descritto nel verso da $A$ a $B$ rappresentato dalle equazioni

               $x=x(t)$     $y=y(t)$      per $\lambda \leq \,t\leq \,\mu$,          (1)

1. Il lettore può rinviare la lettura di questo § al momento in cui studierà la teoria generale delle funzioni additive e degli integrali multipli.