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prima estensione del calcolo integrale, ecc

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dove $\lambda ,\mu$ sono i valori della $t$ corrispondenti ai punti $A,B$ di $\Gamma$ , e dove $x(t),y(t)$ sono finite e continue nell'intervallo $(\lambda ,\mu )$ , e la $x'(t),y'(t)$ sono continue od hanno un numero finito di punti di discontinuità (§ 78, pag. 261).

Noi chiameremo integrale i $Mdx+Ndy$ esteso a tale arco di curva lo:

$\int _{\lambda }^{\mu }\{M[x(t),y(t)]x'(t)+N[x(t),y(t)]y'(t)\}dt$ , (2)

il cui integrando si deduce da $Mdx+Ndy$ , sostituendovi alle $x,y,dx,dy$ i valori che deducono da (1). È così generalizzata nel modo più semplice la definizione sopra data di integrali estesi a segmenti.

È appena necessario avvertire che, essendo $dx,dy$ indipendenti dalla scelta della variabile indipendente, il valore di (2) non cambia se cambiano i lparametro $\mathrm {t}$ scelto per individuare i punti di $\mathrm {\Gamma }$ ; e ciò in virtù del teorema di integrazione per sostituzione (cfr. anche il penultimo capitolo del libro). Tale integrale dipende dunque soltanto dal differenziale $\mathrm {Mdx+Ndy}$ e dall'arco $\mathrm {\Gamma }$ dato a priori (e cambia di segno invertendo il verso in cui $\Gamma$ si immagina percorso, cioè scambiando i punti $A,B$ ).

Ci poniamo ora la seguente domanda fondamentale:

Che valore ha il nostro integrale, se esiste una funzione $\mathrm {f(x,y)}$ , il cui differenziale $\mathrm {df}$ è $\mathrm {M(x,y)dx+N(x,y)dy}$ ?

Evidentemente lungo $\Gamma$ la $f$ è funzione di $x,y$ entrambe funzioni della $t$ , e perciò la $f$ è una funzione di $t$ , la cui derivata vale

$M[x(t),y(t)]x'(t)+n[x(t),y(t)]yu'(t)$ , ¹

perchè dalle

$f=f(x,y)$ ; $x=x(t)$ , $y=y(t)$

si deduce

${\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial x}}x'_{t}+{\frac {\partial f}{\partial y}}y'_{t}=Mx'_{t}+Ny'_{t}$ .

Quindi il nostro integrale (2) diventa

$\int _{\lambda }^{\mu }{\frac {df}{dt}}dt$ ,

↑ La $M[x(t),y(t)]$ ed $N[x,(t),y(t)]$ sono i valori assunti delle $M,N$ nei punti del nostro arco $\Gamma$ Ammetto qui la continuità delle $x'(t),y'(t)$ . Il lettore potrà facilmente studiare le lievi modifica<ioni da apportarsi alla seguente dimostrazione nel caso che $x'(t),y'(t)$ abbiano qualche punto di discontinuità.

[1] La $M[x(t),y(t)]$ ed $N[x,(t),y(t)]$ sono i valori assunti delle $M,N$ nei punti del nostro arco $\Gamma$ Ammetto qui la continuità delle $x'(t),y'(t)$ . Il lettore potrà facilmente studiare le lievi modifica<ioni da apportarsi alla seguente dimostrazione nel caso che $x'(t),y'(t)$ abbiano qualche punto di discontinuità.

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