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gli integrali definiti e le funzioni additive, ecc.

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Poichè l'intervallo $(c,b)$ è somma degl intervalli $(c,a)$ ed $(a,b)$, sarà:

$S(C,b)=S(C,a)+S(a,b)$

ossia:

$S(a,b)=S(c,b)-S(c,a)=\varphi (b)-\varphi (a)$.

Ogni funzione $\mathrm {S(A,b)}$ additiva di intervallo $\mathrm {(a,b)}$ coincide con l'incremento $\mathrm {\varphi (b)-\varphi (a)}$ di una funzizone $\mathrm {\varphi (x)}$ della variabile $\mathrm {x}$.

Data $S(a,b)$, la $>\varphi (x)$ ha chiaramente soltanto l'indeterminazione dovuta all'arbitrarietò con cui i può scegliere la costante $C$. Infatti due funzioni $\varphi (x),\psi (x)$ che abbiano uguali incrementi nello stesso intervallo, soddisfano per ogni valore di $x$ alla:

$\varphi (x)-\varphi (a)=\psi (x)-\psi (a)$, ossia:

$\varphi (x)-\psi (x)=\varphi (a)-\psi (a)$.

Esse hanno cioè una differenza costante.

In molti problemi si presenta più spontaneo lo studio si una funzione $S$ additiva d'intervallo piuttosto che lo studio di una funzione $\varphi$, di cui la $S$ rappresenti gli incrementi. Così, p. es., se un punto si muove su una retta e la sua velocità $F(x)$ è nota in funzione del tempo, si presenta più spontanea la domanda: Che spazio $S(a,b)$ ha percorso il punto dalle ore $a$ alle ore $b$? piuttosto che l'altra domanda: A che distanza $\varphi (x)$ si trova il punto all'ra $x$ dall'origine? Infatti questa seconda domanda presuppone la scelta di un elemento sovente estraneo alla questione: l'origine.

Di funzioni additive di intervallo possiamo dare numerosi esempi.

Data una sbarra materiale posta sull'asse delle $x$, il peso di quella sua parte che ha per estremi i punti di ascissa $a,b$ è una funzione additiva di tale parte di sbarra, cioè dell'intervallo $(a,b)$. E ciò perchè il peso di un tratto $(a,c)$ di sbarra somma dei tratti $(a,b)$ e $(b,c)$ è evidentemente la somma dei pesi dei tratti parziali $(a,b)$ e $(b,c)$: proprietà che vale, qualunque sia la posizione dei punti $a,b,c$, se si conviene di considerare come uguali, e di segno opposto i pesi dei tratti (a, b)</math> e $(b,a)$.

Se un punto materiale si muove in un dato campo di forza percorrendo un segmento $(a,b)$ dall'asse delle $x$, il lavoro compiuto è uuna funzione additiva di $(a,b)$.