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gli integrali definiti e le funzioni additive, ecc.

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Si può dedurne poi, p. es., che: se un punto $\mathrm {N}$ si muove in n piano in modo che il raggio $\mathrm {ON}$ descriva un'area $\mathrm {A}$ proporzionale al tempo $\mathrm {t}$ impiegato, allora la forza agente su $\mathrm {n}$ è diretta verso $\mathrm {O}$. (Teorena importante, p. es., per dedurre le leggi di Keplero e la legge di gravitazione universale di Newton).

$x{\frac {dy}{dt}}-y{dx}{dt}=2k$,

donde, derivando:

$x{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-y{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=0$, ossia ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}:{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=x:y$;

che prova il nostro teorema, perchè (come insegna la Meccanica) le componenti della forza agente su $N$ sono proporzionali alle}}

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}$.

§ 96. — Alcune somme fondamentali.

$\alpha$) Abbiamo dunque riconosciuto l'identità del concetto di funzione $\mathrm {S(a,b)}$ additiva avente per derivata la funzione continua $\mathrm {F(x)}$ e di $\mathrm {\int _{a}^{b}F(x)dx}$.

Cosicchè se, p. es., $F(x)\geq \,0$, ed $a>b$, la $S(a,b)$ si può pensare identiva all'area del rettangoloide limitato dall'arco di curva $y=F(x)$ per $a\leq \,x\leq \,b$, dalle rette che ne proiettano gli estremi sull'asse delle $x$, e dallo stesso asse delle $x$.

Ci serviremo tosto di questo fatto per illustrare geometricamente alcune considerazioni.

Diviso l'intervallo $(a,b)$ in $n$ intervallini parziali $\delta _{1},\delta _{2},...\delta _{n}$, allora il valore $S(a,b)$ della nostra funzione additiva vale la somma dei valori $S$ corrispondenti ai nostri intervallini $\delta _{1}$: ciascuno dei quali è, per il teorema della media, compreso tra $\delta _{i}M_{i}$ e $\delta _{i}m_{i}$, se $M_{i}m_{i}$ sono il massimo e il minimo di $F(x)$ in $\delta _{i}$, e vale $\delta _{1}{\bar {F}}_{1}$, ove ${\bar {F}}_{1}$ è un conveniente valore della $F(x)$ in $\delta _{i}$. Perciò:

La $S(a,b)=\int _{a}^{b}F(x)dx$ è compresa tra $\sum M_{i}\delta _{i}=M_{1}+\delta _{1}+M_{2}\delta _{2}+.....+M_{n}\delta _{n}$ e $\sum m_{i}\delta _{i}$. Esistono dunque dei convenienti numeri ${\bar {F}}_{i}$ compresi tra $m_{i}$ ed $M_{i}$ tali che $\int _{a}^{b}F(x)dx=\sum {\bar {F}}_{1}\delta _{1}$.