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capitolo xv — § 96 bis

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Ciò, che con una facile estensione del concetto di limite si scrive $\int _{a}^{b}F(x)dx=\lim _{\delta _{i}=0}\Sigma F_{i}\delta _{i}$. L'errore commesso sostituendo $F_{i}$ ad ${\bar {F}}_{i}$ viene cioè eliminato passando al limite per $\delta _{i}=0$.

Tale metodo di calcolo approssimato si può chiamare metodo dei rettangoli.

Infatti il calcolo del nostro integrale equivale a quello dell'area del rettangoloide definito dalla curva $y=F(x)$, che ha per base il segmento $(a,b)$. Diviso $(a,b)$ in segmenti $\delta _{i}$, il rettangoloide resta diviso in rettangoloidi parziali; all'area di uno di questi noi sostituiamo il prodotto $\delta _{i}F_{i}$, cioè l'area di un rettangolo che ha ancora $\delta _{i}$ per base, e che ha per altezza $F_{i}$, essendo $F_{i}$ uno qualsiasi dei valori che $F(x)$ ha in $\delta _{i}$.

Per $F_{i}$ possiamo assumere p. es. il valore di $F(x)$ ad uno degli estremi di $\delta _{i}$, oppure il massimo valore di $M_{i}$ od il minimo valore di $m_{i}$ di $F(x)$ in $\delta _{i}$, oppure un nuero qualsiasi compreso tra $M_{1}$ ed $_{i}$.

$\beta$) Con gli stessi metodi con cui si è provato che l'area esterna di un rettangoloide è uguale all'interna, si può dimostrare intanto che il limite inferiore di $\mathrm {\Sigma M\delta }$ è uguale al limite superiore di $\mathrm {\Sigma m\delta }$; e che quindi entrambi sono uguali al numero $\mathrm {S(a,b)=\int _{a}^{b}F(x)dx}$, che è sompreso tra le due somme citate. Resta così provato che questo integrale si può perciò definire come il numero che separa le classi contigue descritte rispettivamente dalle $\mathrm {\Sigma M\delta ,\Sigma m\delta }$.

È intuitivo poi (come il lettore può riconoscere pensando all'area di un rettangoloide, e ricordando la trattazione elementare per l'area del cerchio) e si può facilmente provare¹ che

1. Ciò si può dedurre dal teorema di Heins (§ 40 e § 63, pagina 197), perchè, in virtù di questo teorema, si possono scegliere i $\delta _{1}$ così piccoli che tutte le corrispondenti oscillazioni $M_{i}-m_{1}$ risultano minori di ${\frac {\epsilon }{b-a}}$. Allora sarà $|\Sigma M\delta _{i}-\Sigma M_{1}\delta _{1}|<{\frac {\epsilon }{b-a}}\Sigma \delta _{1}=\epsilon$, come volevasi provare. Allo stesso risultato si giunge direttamente così: Dato un sistema di intervallini $\delta$ e un altro sistema di intervallini $\delta '$, ottenuto dal precedente intercalando nuovi punti di divisione, le somme corrispondenti soddisfano alle $\Sigma M\delta <geq\,\Sigma M'\delta '$ e $\Sigma m\delta \leq \,\Sigma m'\delta '$. E ciò, perchè il massimo $M$ (il minimo $m$) di $F(x)$ in un $\epsilon$ non è inferiore ad alcuno dei massimi $M'$ (non supera alcuno dei minimi $m'$ che $F(x)$ ha nel intervallini $\delta '$, in cui è stato suddiviso l'intervallo $\delta$ considerato, mentre la lunghezza $\delta$ vale la somma della lunghezza di questi $\delta '$. Sia $\epsilon$>0 un numero piccolo a piacere; e consideriamo, p. es., le $\Sigma m\delta$ Esi-