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capitolo xv — § 98

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comprenda all'interno tutta la figura data. A tale scopo per i punti

$(a_{2},y_{2})(a_{4},y_{4}),.....(a_{2n},y_{2n})$

tracciamo le tangenti alla curva (nella figura sono disegnate soltanto le prime due). Consideriamo poi il trapezio limitato dalla tangente nel punto $(a_{2},y_{2})$ dalle ordinate di ascissa $a_{1},a_{3}$ e dalle asse delle $x$. Consideriamo il trapezio limitato dalla tangente nel punto $(a_{4},y_{4})$, dalle ordinate di ascissa $a_{3}$ e $a_{5}$ e dall'asse delle $x$; e così via fino all'ultimo trapezio limitato dalla tangente nel punto $(a_{2n},y_{2n})$, dalle ordinate di ascissa $a_{2n-1},a_{2n+1}$ e dall'asse delle $x$. La somma di tutti questi trapezi costituisce appunto un poligono che comprende all'interno il nostro rettangoloide.

Cerchiamone l'area: essa è la somma delle aree di tutti i trapezi citati. Nel primo di essi l'ordinata $y_{2}$ è la parallela alle basi condotta dal punto di messo dell'altezza $a_{1},a_{3}$, ed è uguale perciò alla senisomma delle basi.. Poichè l'altezza $a_{1}a_{3}$ vale $2{\frac {B}{2\,n}}={\frac {B}{n}}$, l'area di detto trapezio sarà ${\frac {B}{n}}y_{2}$. In modo simile le aree degli altri trapezi valgono ordinatamente

${\frac {B}{n}}y_{4},{\frac {B}{n}}y_{6},.....,{\frac {B}{n}}y_{2n}$;

e l'area totale del nostro poligono varrà

                    ${\frac {B}{n}}(y_{2}+y_{4}+y_{6}+.....y_{2n})$,          (2)

che è quindi un valore approssimato per eccesso di $\int _{a}^{b}f(x)dx$.

Al crescere di $n$, cresce generalmente l'approssimazione che le formole (1), (2) danno per il valore di questo integrale; la differenza tra (1) e (2) tende anzi a zero per $n=\infty$ (Cfr. questo § 98, $\zeta$, pag. 324).

$\beta$) Se la curva $y=f(x)$ volgesse la convessità verso l'asse delle $x$, e quindi la tangente in ogni suo punto penetrasse nel rettangoloide, il ragionamento sin invertirebbe, in quanto che il poligono avente per lati il segmento $a_{1}a_{2n+1}$ dell'asse delle $x$, le ordinate $y_{1}y_{2n+1}$ degli estremi $a.b$ e le corde $A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},.....$, che nel primo caso era contenuto nel rettangoloide, contiene ora invece il rettangoloide all'interno; e il suo valore (1) rap-