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gli integrali definiti e le funzioni additive, ecc.

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Si giunge a un procedimento meccanico, osservando che le somme $y_{2}+y_{2}+.....+y_{2n}$ e $y_{2}+y_{3}+y_{6}+.....+y_{2n}$ , che compaiono nelle (1), (2) si calcolano facilmente così; Una rotella $R$ munita di un contagiri sia fatta rotare senza strisciare sul foglio $F$ del disegno in guisa che il punto di contatto descriva successivamente uno o più segmenti (p. es., $y_{2},y_{3},.....,y_{2n}$ ). Il numero $N$ dei giri compiuti da $R$ (che si legge sul contagiri) sarà uguale ad una certa costante $k$ (dipende dalla data rotella; è $k={\frac {1}{2\,\pi \,r}}$ , se $r$ è il raggio di $R$ ed è $k=1$ se $\left.r={\frac {1}{2\,\pi }}\right)$ moltiplicata per la somma delle lunghezze dei segmenti descritti; cosicchè questa somma (p. es. nel caso citato la $y_{2}+y_{3}+...+y_{2n}$ ) varrà ${\frac {1}{k}}N$ ; e si otterrà con una semplice lettura di $N$ (anzi una opportuna graduazione può permettere di leggere sullo strumento addirittura il numero ${\frac {1}{k}}N$ ). E il calcolo dei valori approssimati del nostro integrale si compiè allora con la massima rapidità.

Si giunge a un metodo grafico, osservando che il prodotto $c$ dei numeri $a,b$ (che siano misura di certi segmenti, che indicheremo pure con $a,b$ ) è la misura di quel segmento $c$ tale che $c:a=b:1$ , dove con $1$ indico anche il segmento scelto come unità di misura. La teoria dei triangoli simili insegna subito a disegnare il segmento $c$ . ora, p. es., la (2)_bis è somma di più termini, ciascuno dei quali è prodotto delle misure di due segmenti, e per cui è quindi applicabile il metodo precedente¹.

↑ Riferendoni alla fig. 36 di questo § 98, $\beta$ , pag. 323, si indicheranno con $P$ il punto dell'asse delle $x$ , che ha per ascissa $-1$ , con $B_{2},B_{4},.....$ le proiezioni di $a_{2},A_{4},.....$ sull'asse delle $y$ , con $d_{1},d_{2},d_{3},.....$ si segmaneti $a_{1}a_{2},a_{2}a_{3},a_{3}a_{4},.....$ . E si supponga soltanto $d_{1}=d_{2},d_{3}=d_{4}$ , ecc. (anche se $d_{1},d_{3},.....$ sono differenti tra loro). Indichiamo con $a_{3}$ il punto ove la parallela tirata da $a_{4}$ a $PB_{3}$ incontra $a_{3}A_{3}$ ; con $a'_{5}$ il punto ove la parallela tirata da $a'_{3}$ a $PB_{4}$ incontra $a_{5}A_{5}.....$ ; con $a_{2n+1}$ il punto ove la parallela tirata da $a'_{2n-1}$ alla $PB_{2n}$ incontra $a_{2n+1}A_{2n+1}$ . Dico che il segmento $a'_{2n+1}a'_{2n+1}$ vale la somma (2)_bis. Infatti, posto $a'_{1}=a_{1}$ , si tirino da $a'_{2n-1}$ una parallela all'asse delle $x$ , da $a'_{2i+1}$ la parallela all'asse delle $y$ (nella figura è $i=2$ ). Queste rette insieme alla $a'_{2i-1}a'_{2i+1}$ formano un triangolo simile al triangolo $POB_{2i}$ (per $i=1,2,.....,n$ ). E se ne deduce che la differenza tra le ordinate di $a'_{2i+1}$ e $a'_{2i-1}$ sta a $d_{2i-1}+d_{2i}$ come $OB_{2i}=y_{2i}$ sta a $PO=1$ , ossia che tale differenza vale $2y_{2i}d_{2i-1}$ , che è un termine di (2)_bis. La somma di tutte queste differenze, cioè

$(a_{2n+1}a'{2n+1}-a_{2n-1}a'_{2n-1})+(a_{2n-1}a'_{2n-1}-a_{2n-3}a'_{2n-3})+.....$

$.....+(a_{5}a'_{5}-a_{3}a'_{3})+(a_{3}a'_{3}-a_{1}-a'_{1})$ ,

cioè $a_{2n+1}a'_{2n+1}$ (il lettore ricordi che $a_{1}a'_{1}=0$ ) vale dunque la somma (2)_bis, come dovevasi provare.

[1] Riferendoni alla fig. 36 di questo § 98, $\beta$ , pag. 323, si indicheranno con $P$ il punto dell'asse delle $x$ , che ha per ascissa $-1$ , con $B_{2},B_{4},.....$ le proiezioni di $a_{2},A_{4},.....$ sull'asse delle $y$ , con $d_{1},d_{2},d_{3},.....$ si segmaneti $a_{1}a_{2},a_{2}a_{3},a_{3}a_{4},.....$ . E si supponga soltanto $d_{1}=d_{2},d_{3}=d_{4}$ , ecc. (anche se $d_{1},d_{3},.....$ sono differenti tra loro). Indichiamo con $a_{3}$ il punto ove la parallela tirata da $a_{4}$ a $PB_{3}$ incontra $a_{3}A_{3}$ ; con $a'_{5}$ il punto ove la parallela tirata da $a'_{3}$ a $PB_{4}$ incontra $a_{5}A_{5}.....$ ; con $a_{2n+1}$ il punto ove la parallela tirata da $a'_{2n-1}$ alla $PB_{2n}$ incontra $a_{2n+1}A_{2n+1}$ . Dico che il segmento $a'_{2n+1}a'_{2n+1}$ vale la somma (2)_bis. Infatti, posto $a'_{1}=a_{1}$ , si tirino da $a'_{2n-1}$ una parallela all'asse delle $x$ , da $a'_{2i+1}$ la parallela all'asse delle $y$ (nella figura è $i=2$ ). Queste rette insieme alla $a'_{2i-1}a'_{2i+1}$ formano un triangolo simile al triangolo $POB_{2i}$ (per $i=1,2,.....,n$ ). E se ne deduce che la differenza tra le ordinate di $a'_{2i+1}$ e $a'_{2i-1}$ sta a $d_{2i-1}+d_{2i}$ come $OB_{2i}=y_{2i}$ sta a $PO=1$ , ossia che tale differenza vale $2y_{2i}d_{2i-1}$ , che è un termine di (2)_bis. La somma di tutte queste differenze, cioè

$(a_{2n+1}a'{2n+1}-a_{2n-1}a'_{2n-1})+(a_{2n-1}a'_{2n-1}-a_{2n-3}a'_{2n-3})+.....$

$.....+(a_{5}a'_{5}-a_{3}a'_{3})+(a_{3}a'_{3}-a_{1}-a'_{1})$ ,

cioè $a_{2n+1}a'_{2n+1}$ (il lettore ricordi che $a_{1}a'_{1}=0$ ) vale dunque la somma (2)_bis, come dovevasi provare.

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