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capitolo xv — § 98-99

$\delta$) Esistono altri metodi di calcolo approssimato di tipo analogo: uno di essi consiste nel sostituire alla funzione $y=f(x)$ la funzione $y=p(x)$, dove $p(x)$ è un polinomio di grado $m-1$, che in $m$ punti di intervallo $(a,b)$ assume lo stesso valore che $f(x)$, (per il calcolo di tale polinomio cfr. § 27, pag. 90 e pag. 48) e dpve $m$ è un intero abbastaza grande.

Oppure si può dividere l'intervallo totale $(a,b)$ in $r$ intervallini parziali $l_{1},l_{2},.....l_{r}$, applicare a ciascuna di questi intervallini il nostro metodo, sostituendo in $l_{i}$ alla math>f(x)</math> un conveniente polinomio $p_{i}(x)$ di grado $m_{i}-1$, che in $m_{i}$ punti di $l_{i}$ coincida con $f(x)$, e infine calcolare l'integrale di $p_{i}(x)$ esteso ad $l_{i}$, e sommare gli integrali così trovati.

Il metodo dei rettangoli coincide con questo, quando si supponga $m_{i}=1$.

Il metodo dei trapezi si ottiene supponendo $m_{i}=2$.

Il metodo dei trapezi inscritti, da noi svolto più sopra, coincide con questo, quando suppongo $r=2n,m_{1}=2$, e ogni polinomio (di primo grado) $p_{i}(x)$ sia supposto uguale ad $f(x)$ agli estremi del corrispondente intervallino. Il metodo dei trapezi circoscritti si deduce dall'attuale, supponendo $r=n,m_{i}=2$, e facendo tendere al punto di mezzo di $l_{i}=2d_{2i}=2d_{2i-1}$ i due punti di $l_{i}$ ove si suppone $f(x)=p_{i}(x)$. In entrambi i cali le linee $y=p_{i}(x)$ sono rette (corde o tangenti). Se invece $m_{i}=3$, le $y=p_{i}(x)$ sono parabole. Supposti, p. es., gli $l_{i}</m<th>tuttiugualia<math>{\frac {R}{r}}$, posto $r=n$, supposto $f(x9=p_{i}(x)$ agli estremi $a_{2i-1},a_{2i+1}$ di $l_{i}$ ad al punto di mezzo $a_{2i}$ di $l_{i}$ posto $y_{s}=f(a_{s})$, il contributo portato da $l_{i}$ (cioè l'integrale di $p_{i}(x)$ tra i limiti $a_{2i-1},a_{2i+1}$) si calcola facilmente uguale a ${\frac {B}{6\,n}}[y_{2i-1}+y_{2i+1}+4_{y2i}]$. La somma di questi contributi per $i=1,2,.....,n$ è un nuovo valore approssimato del nostro integrale. Anche questo metodo si può variare nei modi più molteplici.

Il lettore applichi quanto precede a qualche esempio numerico. Per altri metodi meccanici cfr. gli ultimi §§ di questo libro.

§ 99. — Metodi e locuzioni abbreviate.

$\alpha$) Di locuzioni non precise, ma comode, e che si possono intendere soltanto con modi abbreviati di enunciare considerazioni precise ma più lunghe, abbiamo già discorso altrove (§ 54, pag. 177). Tali modi di esposizione si applicano pure nel calcolo integrale.

Per i teoremi dei paragrafi 96 e 96^bis si può definire $\int _{a}^{b}F(x)dx$ nel modo seguente:

Si divida l'intervallo $(a,b)$ in più intervallini parziali $\delta _{i}$(la