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gli integrali definiti e le funzioni additive, ecc.

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cui misura si prenderebbe negativa se $a>b$) e la cui ampiezza faremo poi tendere a zero¹.

In uno di questi intervallini la $F(x)$ avrà generalmente infiniti valori. Moltiplichiamo $\delta _{i}$ per uno di questi valori $F_{1}$ scelto ad arbitrio.

Il $\lim _{\delta =0}\Sigma \delta _{i}F_{i}$ è integrale cercato.

Ecco invece come confronto le locuzioni a cui si è accennato più sopra.

Dividiamo l'intervallo $(a,b)$ in infiniti intervallini parziali infinitesimi $\delta _{i}$ (la cui misura si prenderà positiva, se, come supponiamo, $b>a$). In ciascuno di questi intervallini infinitesimi la $F(x)$ si potrà considerare com costante. La somma $\Sigma _{i}\delta _{i}F_{i}$ degli infiniti prodotti ottenuti moltiplicando l'ampiezza di uno di questi intervalli per il corrispondente valore di $F$ l'integrale di $F(x)$ da $a$ a $b$.

Per dedurne che, se si considera $b$ come variabile, la derivata di questo integrale rispetto alla $b$ è proprio uguale a $F(b)$, si procede nel seguente modo, che noi considereremo al solito soltanto come una esposizione abbreviata. Si dia alla $b$ un incremento infinitesimo $db$, che, per fissar le idee, supporremo positivo (come supponiamo positiva la differenza $b-a$). L'intervallo

$(a,b+db)=(a,b)+(b,b+db)$

è uguale alla somma degli intervallini $\delta _{i}$ e di $db$; perciò l'integrale relativo ad esso è uguale a $\Sigma \delta _{i}F_{i}+F(b)db$ [poichè in Fig. 37. $(b,b+db)$ la $F(x)$ si può pensare conservi il valore costante $F(b)$]. L'incremento ricevuto dal nostro integrale e così $F(b)db$, e la sua derivata è quindi $F(b)$.                      c.d.d.

Per dimostrare poi, p. es., che l'area del rettangoloide $ABB'A'$ (fig. 37) è uguale al solito integrale definito, si osservi che la divisione $A'B'=(a,b)$ in infiniti intervallini infinitesimi $\delta$ definisce la divisione del nostro rettangoloide

1. Con ciò s'intende che il più lungo degli intervallini parziali abbia una misura, che facciamo tendere a zero, variano il sistema i divisioni.