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funzioni additive generali e integrali multipli

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β) Il seguente esempio ha per noi una specialissima importanza. Sia $z=F(x,y)$ l'equazione di un pezzo $K$ di superficie; sia $F\geq 0$ ; sia $I$ la proiezione di $K$ sul piano $xy$ .

Sia $F(x,y)$ continua. Chiamiamo cilindroide la figura solida limitata da $K$ , da $I$ (base del cilindroide) e dal cilindro proiettante il contorno di $K$ sul contorno di $I$ .

Ogni pezzo $\tau$ di $I$ sarà base di un cilindroide parziale: luogo di quei punti del cilindroide iniziale, che si proiettano sul piano $xy$ in punti di $\tau$ . Il volume $\mathrm {S(\tau )}$ di tale cilindroide parziale (o, se tale volume non fosse definito, il volume interno oppure il volume esterno di tale cilindroide) è una funzione additiva di $\mathrm {\tau }$ .

Infatti se $\tau$ è somma dei due pezzi $\tau _{1},\tau _{2}$ , allora il cilindroide parziale di base $\tau$ è somma di cilindroidi aventi per base $\tau _{1}$ , oppure $\tau _{2}$ . (Per i volumi interni od esterni cfr. quanto si disse per l'area esterna od interna di un rettangoloide a pag. 25).

γ) Se $S(\tau )$ è una funzione additiva dei pezzi $\tau$ di $I$ , e se $\tau$ è la misura^[1] (p. es., lunghezza, area, volume, ecc.) dei pezzi $\tau$ , allora può darsi che il rapporto ${\frac {S(\tau )}{\tau }}$ tenda ad un limite finito, quando tutti i punti di $\tau$ si avvicinano a un punto $A$ di $I$ . Se tale limite esiste per tutti i punti $A$ di $I$ , esso è una funzione $\mathrm {F}$ delle coordinate del punto $\mathrm {A}$ . (Cioè esso non è più, come $S(\tau )$ , una funzione del campo $\tau$ , ma soltanto una funzione delle una, due o tre coordinate del punto $A$ ). Se questa funzione $F$ è continua, noi la chiameremo derivata di $S$ (rispetto a $\tau$ ) e scriveremo $S'_{\tau }=F$ . Se, p. es., $I$ è una figura pesante, e se $S(\tau )$ è il peso del pezzo $\tau$ , allora $F$ è la densità nel punto $A$ .

Es. I. Se $S(\tau )$ è il volume del precedente cilindroide parziale, si dimostra (analogamente a quanto si è fatto a pag. 311 per i rettangoloidi) che la sua derivata in un punto $A$ vale precisamente il valore in questo punto di $z=F(x,y)$

Es. II. Così sia $I$ una lamina o un corpo pesante; assumiamo come misura $\tau$ di un suo pezzo $\tau$ non già l'area o il volume di $\tau$ , ma precisamente il peso $\tau$ di $\tau$ ^[2]. Sia $X(\tau )$ quella funzione additiva di $\tau$ , che è uguale al prodotto del peso $\tau$ di $\tau$ per l'ascissa $x_{g}$ del suo centro di gravità. La $X(\tau )=\tau x_{g}$ è

↑ Indichiamo quasi sempre con la stessa lettera un campo, e la sua misura.
↑ Anche comunemente è molteplice il modo di definire la misura di un corpo (p. es., il volume, il peso, il prezzo di esso). In generale si può assumere come misura di $\tau$ ogni funzione additiva e positiva di $\tau$

[1] Indichiamo quasi sempre con la stessa lettera un campo, e la sua misura.

[2] Anche comunemente è molteplice il modo di definire la misura di un corpo (p. es., il volume, il peso, il prezzo di esso). In generale si può assumere come misura di $\tau$ ogni funzione additiva e positiva di $\tau$

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