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capitolo xvi — § 100-101

una funzione additiva di $\tau$. Notiamo che ${\frac {X(\tau )}{\tau }}=x_{g}$ è compresa tra il massimo e il minimo valore che ha l'ascissa $x$ di un punto $\tau$. Quindi, se tutti i punti di $\tau$ tendono ad uno stesso punto di $A$ di $\tau$, il $\lim {\frac {X(\tau )}{\tau }}$ vale precisamente l'ascissa $x$ del punto $A$. Cioè $x$ è la derivata della nostra funzione $X(\tau )$.

Es. III. Sia $I$ una parete piana verticale di una vasca piena di acqua (un bacino di carenaggio, p. es.). La pressione che tale acqua esercita su un pezzo $\tau$ di $I$ è quella funzione additiva di $\tau$, la cui derivata in un punto $A$ di $I$ cale la distanza da $A$ al pelo libero dell'acqua stessa.

Es IV, Sia $I$ una curva del piano $xy$; supponiamo che i punti di $I$ siano in corrispondenza biunivoca con la loro proiezione sull'asse delle $x$. Assumiamo come misura $\tau$ di un pezzo $\tau$ di $I$ la lunghezza della sua proiezione sull'asse delle $x$. Se $M(x,y)$ è una funzione continua delle $x,y$ in tutta una regione contenente $I$ all'interno, allora lo $\int M(x,y)dx$ esteso a una pezzo $\tau$ di $I$ è quella funzione additiva di $\tau$, che nei punti di $I$ ha $M(x,y)$ per derivata.

Oss. È perfettamente lecito definire nel modo qui enunciato la misura $\tau$ di un pezzo $\tau$ di $I$, perchè vengono rispettate le proprietà essenziali di una misura (che un pezzo $\tau$ di $I$ somma di due pezzi $\tau ',\tau ''$ ha per misura la somma delle misure di $\tau ',\tau ''$, ecc.). (Cfr. la precedente nota a piè di pagina).

§ 101. — Estensione dei principali teoremi
del calcolo differenziale.

$\alpha$) Per queste derivate si possono estendere molti teoremi di calcolo. Bisognerebbe, per restare nel campo più generale, limitare un po' il tipo di campi $\tau$, per i quali si costruiscano i rapporti ${\frac {S(\tau )}{\tau }}$, che compaiono nella definizione di derivata. Questa generalità è però inutile a noi che supponiamo la derivata $\mathrm {F}$ continua. Noi estenderemo il teorema della media. Se $\mathrm {S(\tau )}$ possiede derivata $\mathrm {F}$ continua in ogni punto di $\mathrm {I}$ (inclusi i punti del contorno di $I$), allora $\mathrm {\frac {S(\tau )}{\tau }}$ è compreso tra