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funzioni additive generali e integrali multipli

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$\delta$) Diamo un'applicazione specialmente importante dell'ultima formola. I campi $I$ ed $H$ sieno addirittura sovrapposti; e noi conveniamo di considerarli distinti, perchè conveniamo di definire in modo differente la misura di un loro pezzo, secondo che questo pezzo è considerato come parte di $\tau$ di <math<I</math>, o come parte $k$ di $H$. Se, p. es., $I=H$ è un corpo o una lamina pesante, come misura $\tau$ di un suo pezzo potremo assumere la sua misura geometrica (area o volume), come misura $k$ il suo peso.

Se, p. es., $X(k)$ è quella funzione additiva di un suo pezzo $k$, che è uguale al prodotto del peso $k$ del pezzo considerato per l'ascissa $x$ del suo centro di gravità, la derivata $X'_{g}$ in un punto $A$ vale precisamente l'ascissa $x$ di tale punto (pag. 332), D'altra parte la derivata ${\frac {dk}{d\tau }}$ in $A$ è uguale alla densità $\rho$ in questo punto. Quindi, se noi consideriamo $X$ come funzione di $\tau$, si ha:

$k'_{\tau }=\rho$; $X'_{\tau }=k'_{\tau }X'_{k}=\rho x$.

Quindi: L'ascissa $\mathrm {x}$ del centro di gravità di un pezzo $\mathrm {\tau }$ di $\mathrm {I}$ vale il quoziente di $\mathrm {\frac {X(\tau )}{k(\tau )}}$, cioè di due funzioni additive la cui derivata vale rispettivamente $\mathrm {\rho x}$ e $\mathrm {\rho }$ (se $\mathrm {\rho }$ è la densità).

Esempio.

Sia $I$ una massa attraente con la legge di newton. Il potenziale dovuto a un suo pezzo $\tau$ in un punto esterno $M$ è quella funzione additiva di $\tau$, la cui derivata in un punto $A$ di $I$ vale ${\frac {\rho }{r}}$, se $\rho$ è la densità, $r$ la distanza $AM$.

§ 102. — Generalizzazione dei teoremi fondamentali
del calcolo integrale.

Sia $I$ un campo di una o più dimensioni. Sia $F$ una funzione continua delle coordinate di un suo punto. Con considerazioni analoghe a quelle dei §§ 96 e § 96^bis (in cui si sostituisca alla considerazione dell'area di un rettangoloide quella del volume di un cilindroide, oppure quella del peso di un corpo o di una lamina pesante o un altro esempio di tipo analogo) si dimostra che:

I. Esiste una e una sola funzione additiva $\mathrm {S(\tau )}$ dei pezzi $\mathrm {\tau }$ di $I$, che ha per derivata la data funzione continua $\mathrm {F}$.