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funzioni additive generali e integrali multipli 339

significherebbe la somma degli integrali (eseguiti considerando come costante) estesi ai due intervalli che la retta possiede interni all'area .

Il valore di dipende perciò dal valore dato alla ; e cioè una funzione della . E la nostra formola ci dice che noi dobbiamo integrare questa funzione rapporto ad . Tra quali limiti si deve fare questa seconda integrazione? Poichè si deve tener conto di tutto il campo , essa dovrà quindi essere eseguita nell'intervallo (), se ed sono i valori minimo e massimo della in .

Se noi per fissare le idee supponiamo che il contorno di sia incontrato in due punti al più da una parallela a uno degli assi coordinati, le ascisse dei punti dei punti ove una retta incontra il contorno di saranno due funzioni e della . E le ordinate dei punti , ove una retta incontra il contorno di , saranno due funzioni e della .

Se dunque diciamo ed i valori minimi e massimi rispettivamente della e della in , troveremo:

(1)               1.

E, scambiando i due assi, coordinati, troveremo per simmetria:

(2)               .

Come si vede, confrontando queste formole è lecito cambiare l'ordine delle integrazioni, purchè si cambino convenientemente i limiti dei corrispondenti integrali. È evidente che i limiti non dovrebbero essere cambiati nel caso che fosse un rettangolo coi lati paralleli agli assi coordinati2, come il lettore può facilmente verificare facendo la figura.

  1. Si ricordi (§ 88) che se sono funzioni continue, anche è funzione continua della e si può quindi integrare rispetto alla .
  2. Si applichi questo risultato all'ultima formola del § 93, pag. 307. In questa formola i limiti d'integrazione sono uguali nei due membri, perchè siamo nel caso particolarissimo di un integrale doppio esteso a quel rettangolo coi lati paralleli agli assi coordinati, di cui l'origine e il punto () sono vertici opposti.