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funzioni additive generali e integrali multipli

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In modo simile si ha

${\frac {V}{2}}=\int _{-b}{+a}dy\left[\int _{-{\frac {a}{b}}{\sqrt {b^{2}-y^{2}}}}^{+{\frac {a}{b}}{\sqrt {b^{2}-y^{2}}}}c{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{y^{2}}{b^{2}}}}dx\right]={\frac {4}{3}}{\frac {\pi abc}{2}}$

donde $V={\frac {4}{3}}\pi abc$.

II. Se l'asse delle $x$ è verticale volto in basso, e $I$ è una parete piana verticale di una vasca piena d'acqua, posta nel piano $xy$, e se l'asse delle $y$ coincide col pelo libero dell'acqua, la spinta idraulica sostenuta da $I$ vale (§ 100, $\gamma$, es. III°)

$\int dy\int xdx=\int xdx\int dy$ esteso ad $I$.

Si applichi questa formola al caso che $I$ sia un rettangolo o semicerchio col diametro sull'asse delle $y$.

§ 106. — Volume di un solido di rotazione
e teorema di Guldino.

Sia $\sigma$ un campo del piano $xz$ non intersecante l'asse delle $z$; il quale rotando attorno a tale asse generi un solido di rotazione $S$. Per trovarne il volume $V$ il procedimento più rapido è quello di integrare rispetto alla $z$ l'area della sezione ottenuta segando $S$ con un piano $z={\text{cost.}}$.

Se una retta $z={\text{cost.}}$ del piano $xz$ incontra il contorno di $\sigma$ al più in due punti di ascissa $x_{1},x_{2}$ (porremo $x_{1}<x_{2}$), tale sezione è la corona circolare limitata da due cerchi di raggio $x_{1},x_{2}$, ed ha per area $\pi (x_{2}^{2}-x_{1}^{2})$, dove $x_{1}$ ed $x_{2}$ sono funzioni di $z$. Il volume $\mathrm {V}$ di $\mathrm {S}$ sarà perciò $\pi \int (x_{2}^{2}-x_{1}^{2})dz$.

Poichè $x_{2}^{2}-x_{1}^{2}=2\int _{x_{1}}^{x_{2}}xdx$, tale volume si può indicare con

$V=2\pi \int dz\int xdz=2\pi \int xd\sigma$¹

1. Questa formola vale anche se il contorno di $\sigma$ è incontrato in più di due punti da una retta $z={\text{cost.}}$ del piano $xy$. Al lettore la dimostrazione, che si ttiene (nei casi più elementari) scomponendo $\sigma$ in convenienti sue parti.