Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/366

350

capitolo xvii — § 107-108

$x=\rho {\text{cos}}\theta ,y=\rho {\text{sen}}\theta ]$. Nel primo caso l'equazione della curva sia $y=f(x)$; nel secondo $u=\varphi (v)$. Si calcolino $u'_{v},u''_{r}$, ecc., conoscendo le $y'_{x},y''_{x}$, ecc. Naturalmente devono essere note le formole che permettono di passare dall'uno o dall'altro sistema di coordinate; $u=u(x,y)$ e $v=v(x,y)$.

Sarà:

$u'_{x}={\frac {du}{dv}}={\frac {{\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy}{{\frac {\partial v}{\partial x}}dx+{\frac {\partial v}{\partial y}}\partial y}}={\frac {{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}}{{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}}}$

$u''_{v}={\frac {du'_{v}}{dv}}={\frac {1}{\frac {dv}{dx}}}={\frac {1}{{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}y'_{x}}}\left[{\frac {\partial u'_{n}}{\partial x}}+{\frac {\partial u'_{\tau }}{\partial y}}y'_{x}\right]$.

I valori di $\partial u'_{v}}{\partial x,{\frac {\partial '_{v}}{\partial y}}$ si ricavano facilmente dalla precedente equazione, ecc.

Come esempio particolare studiamo le relazioni che passano tra le derivate delle $y=f(x),\rho =\varphi (\theta )$, supposto che queste equazioni rappresentino la stessa curva in coordinate cartesiane e polari. È:

$d'(x)=y'_{x}={\frac {{\text{sen}}\theta d\rho +\rho {\text{cos}}\theta d\theta }{{\text{cos}}\theta d\rho -\rho {\text{sen}}\theta d\theta }}={\frac {{\text{dg}}\theta \varphi '(\theta )+\rho }{\varphi '(\theta )-\rho {\text{tg}}\theta }}$;

$f''(x)=y''_{x}={\frac {1}{{\text{cos}}\theta \varphi '(\theta )-\rho {\text{sen}}\theta }}\left\{{\frac {\partial y'_{x}}{\partial \rho }}\varphi '(\theta )+{\frac {\partial y'_{x}}{\partial \theta }}\right\}=$

${\frac {-\rho \varphi ''+2{y'}^{2}+\rho ^{3}}{[{\text{cos}}\theta \varphi '(\theta )-\rho {\text{sen}}\theta ]^{3}}}$.

§ 108. — Cambiamento della variabile d'integrazione
negli integrali definiti o multipli.
Integrali superficiali in coordinate polari.

Per quanto riguarda gli integrali definiti nulla c'è da aggiungere alla regola di integrazione per sostituzione già esposta al § 75, $\beta$, pag. 247.

Si tratta di estendere questa regola agli integrali multipli.