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capitolo xvii — § 108

Prima di dimostrare che ${\frac {d\,\tau }{dk}}=\rho$ , vogliamo fare alcune osservazioni:

Oss. I^a Si noti che non si passa dal primo al secondo o terzo membro di questa formola sostituendo a $dx=d(\rho \,{\text{cos}}\,\theta )$ ed a $dy=d(\rho \,{\text{sen}}\,\theta )$ i loro valori ${\text{cos}}\,\theta \,d\,\rho \,-\,\rho \,{\text{sen}}\,\theta \,d\,\theta$ e $\rho \,{\text{cos}}\,\theta \,d\,\theta \,+\,{\text{sen}}\,\theta \,d\,\rho$ ; come potrebbe sembrare a un lettore inesperto. In questo caso il $d\tau$ che cmpare sotto il segno di integrazione e {{sc|non} i $dx.dy$ si possono trasformare come differenziali veri e proprii¹.

Oss. II^a Si possono calcolare il secondo e terzo membro della nostra formola, senza neanche pensare al campo $H$ , in modo analogo a quello seguito nei §§ 103-105 per calcolare il 1° membro. Per es., $\int \,d\,\theta \,\int \,F\,\rho \,d\,\rho$ si può calcolare così: SI consideri una linea $\theta ={\text{cost.}}$ (che è una retta uscente dall'origine). Su di essa la $F$ diventa funzione della sola $\rho$ ; si calcoli $\int \,F\,\rho \,d\,\rho$ esteso al segmento, o ai segmenti che la nostra figura $I$ determina su tale linea. Tale integrale è una funzione di $\theta$ che i integra tra il minimo e il massimo valore di $\theta$ in $I$ .

(Si noti che le linee $\theta ={\text{cost.}}$ e $\rho ={\text{cost.}}$ hanno per immagine in $H$ le rette $Y={\text{cost.}}$ ed $X={\text{cost.}}$ parallele agli assi coordinati).

Vogliamo ora dimostrare che ${\frac {d\tau }{dk}}=X=\rho$ . Consideriamo un pezzo $k$ di $H$ limitato da due parallele all'asse delle $Y$ , e due parallele all'asse delle $x$ . Siano $X,X+\Delta X$ e $Y,Y+\Delta Y$ i corrispondenti valori delle $X,Y$ . Tale pezzo è un rettangolo, l a cui area $k=\Delta X\Delta Y$ .

L'immagine di questo pezzo sul piano $xy$ è un quadrangolo $\tau$ limitato da due cerchi col centro nell'origine e raggi $X,X+\Delta X$ , e inoltre da due rette uscenti dall'origine formanti con l'asse delle $x$ rispettivamente gli angoli Y, Y+\Delta Y</math> e quindi formanti tra loro l'angolo $\Delta Y$ . La corona circolare limitata dai citati due cerchi ha per area

$\pi \left\{(X+\Delta X)^{2}-X^{2}\right\}=\pi [2\,X\,\Delta X+(\Delta X)^{2}]$ ;

l'area $\tau$ di $\tau$ sarà dunque data dalla proporzione:

$\tau :\pi [2\,X\,\Delta \,X+(\Delta X)^{2}]=\Delta \,Y:2\,\pi$

↑ Si noti infatti che, se la prima integrazione si esegue, p. es., rispetto alla $x$ , si deve considerare la $y$ come costante; perciò: nel passare alle $\rho ,\theta$ , si dovrebbe a $dx$ sostituire il suo valore ottenuto nell'ipotesi che $dy=d(\rho \,{\text{sen}}\,\theta )=0$ .

[1] Si noti infatti che, se la prima integrazione si esegue, p. es., rispetto alla $x$ , si deve considerare la $y$ come costante; perciò: nel passare alle $\rho ,\theta$ , si dovrebbe a $dx$ sostituire il suo valore ottenuto nell'ipotesi che $dy=d(\rho \,{\text{sen}}\,\theta )=0$ .

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