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354 capitolo xii — § 108

Ora tende alla differenza dei valori massimo e minimo, che assume nel campo considerato; non supera 2\pi</math>. poichè tende a zero, segue tosto che tende a zero. c.d.d.

D'altra parte sia questo risultato, sia quello del prossimo paragrafo saranno dimostrati in futuro capitolo con metodi meno diretti, ma di una estrema semplicità.

Si può anche generalizzare il risultato del § 104 interpretando geometricamente la (2) nel seguente modo (per il caso ):

Il volume di un cilindroide, o di un solido decomponibile in un numero finito di cilindroidi si ottiene integrando rispetto a l'area della sezione, eseguita con un cilindro circolare retto di asse invariabile e di raggio variabile .

Sarà un esercizio utilissimo il riconoscere come si possa ottenere facilmente una dimostrazione completa del nostro risultato con l'applicazione dello stesso metodo usato al § 105 in caso analogo.

Infatti, seguendo questa via, si riconosce tosto essere sufficiente provare che l'area di è data, p. es., da esteso al campo . ora a pag. 342, per dimostrare il teorema analogo che tale area vale , siamo partiti dalla formola che dà l'area di un rettangoloide, cioè di una figura limitata dalle linee e da una linea .

Per il caso attuale basterà similmente applicare la formola data al § 95 , per l'area della figura limitata dal punto , dalle linee e da una curva .

Fomrole analoghe si dimostrano per integrali tripli. Ricordiamo particolarmente i seguenti sistemi notevoli di coordinate nello spazio.

Coordinate cilindriche alle coordinate cartesiane ortogonali dalle ; ; . Un tale sistema equivale ad adottare coordinate polari nel piano , conservando la terza coordinata -. Tali coordinate si chiamano cilindriche perchè è l'equazione di un cilindro circolare retto con generatrici parallele all'asse delle zmatH>z</math>. Si trova

.

Coordinate polari (nello spazio) legate alle coordinate cartesiane ortogonali dalle:

.

Il raggio vettore è la distanza del punto dall'origine. L'angolo è la colatitudine (complemento della latitudine, quando si assuma il piano a piano equatoriale).