Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/375

equazioni differenziali.

359

lo studio generale delle equazioni differenziali costituisce da solo uno dei rami più estesi delle matematiche, e riceve continue applicazioni alle scienze fisiche, e in genere a tutte le sceinze che hanno per oggetto enti suscettibili di misura.

§ 110. — Equazioni differenziali, la cui integrazione è ridotta a quella di un differenziale esatto.

$\alpha$) Sia $f$ una funzione delle due variabili $x,y$; trovare tutte le funzioni $y$ della $x$ che soddisfano a un'equazione del tipo

                                                  $f(x,y)={\text{cost.}}$                              (1)

equivale a trovare tutte le funzioni $y$ definite implicitamente dalla (1).

È chiaro che per tutte e solo le funzioni definite implicitamente dalla (1) si ha che, sostituendo nel primo membro della (1) in luogo di $y$ il suo valore e derivando la funzione di $x$ che ne risulta, si ottiene lo zero. In altre parole la¹

                                        ${\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0$                    (2)

vale per tutte e sole le funzioni $\mathrm {y}$ definite implicitamente dalla (1)

La (2) è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine: tutte le funzioni $y$ che la risolvono sono tutte e sole quelle che soddisfano alla 81).

Si abbia ora l'equazione differenziale del tipo:

                                        $M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0$,                    (3)

La quale, moltiplicata per $dx$, si può scrivere:

                                        $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$.                    (4)

Se il primo membro di (4) è un differenziale esatto, se esiste cioè una $f(x,y)$ tale che:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=M(x,y)$ ; ${\frac {\partial f}{\partial y}}=N(x,y)$,

1. Si suppongono qui, e nei seguenti §§, finite e continue tutte le funzioni, e loro derivate, che si presentano nel calcolo