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equazioni differenziali.

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lo studio generale delle equazioni differenziali costituisce da solo uno dei rami più estesi delle matematiche, e riceve continue applicazioni alle scienze fisiche, e in genere a tutte le scienze che hanno per oggetto enti suscettibili di misura.

§ 110. — Equazioni differenziali, la cui integrazione è ridotta a quella di un differenziale esatto.

$\alpha$) Sia $f$ una funzione delle due variabili $x,y$; trovare tutte le funzioni $y$ della $x$ che soddisfano a un'equazione del tipo

                                                  $f(x,y)=\text{cost.}$                              (1)

equivale a trovare tutte le funzioni $y$ definite implicitamente dalla (1).

È chiaro che per tutte e solo le funzioni definite implicitamente dalla (1) si ha che, sostituendo nel primo membro della (1) in luogo di $y$ il suo valore e derivando la funzione di $x$ che ne risulta, si ottiene lo zero. In altre parole la^[1]

                                        $\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0$                    (2)

vale per tutte e sole le funzioni $\mathrm{y}$ definite implicitamente dalla (1)

La (2) è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine: tutte le funzioni $y$ che la risolvono sono tutte e sole quelle che soddisfano alla 81).

Si abbia ora l'equazione differenziale del tipo:

                                        $M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}=0$,                    (3)

La quale, moltiplicata per $dx$, si può scrivere:

                                        $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$.                    (4)

Se il primo membro di (4) è un differenziale esatto, se esiste cioè una $f(x,y)$ tale che:

$\frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y)$ ; $\frac{\partial f}{\partial y}=N(x,y)$,

1. Si suppongono qui, e nei seguenti §§, finite e continue tutte le funzioni, e loro derivate, che si presentano nel calcolo