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capitolo xviii — § 110

per le considerazioni precedenti tutte e sole le funzioni $y$ della $x$ che risolvono la (3) o la (4) sono le funzioni rappresentate implicitamente dall'equazione

$f (x, y) = C$ ,

dove $C$ è una costante affatto arbitraria^[1].

Esempio.

Si voglia, ad esempio, risolvere l'equazione differenziale ordinaria del primo ordine

$2 y + x^{3} + (2 x + y^{2}) y^{'} = 0$ ; (5)

si vogliano cioè trovare tutte e sole le funzioni $y$ della $x$ , che la soddisfano. Poichè $y^{'} = \frac{d y}{d x}$ , la (5) si può scrivere moltiplicata per $d x$ :

$(2 y + x^{3}) d x + (2 x + y^{2}) d y = 0$ .

Il primo membro è un differenziale esatto, poichè:

$\frac{\partial}{\partial y} (2 y + x^{3}) = 2 = \frac{\partial}{\partial x} (2 x + y^{2})$ .

Le funzioni $f$ , per cui:

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y + x^{3}$ , $\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x + y^{2}$ ,

si ottengono integrando $2 y + x^{3}$ rapporto a $x$ e aggiungendo una funzione di $y$ tale che la funzione che ne risulta abbia per derivata rapporto a $y$ la $2 x + y^{2}$ .

Sarà dunque:

$f = 2 x y + \frac{x^{4}}{4} + Y$ ,

essendo $Y$ tale che:

$(2 x y + \frac{x^{4}}{4} + Y)'_{y} = 2 x + y^{2}$ .

↑ Più precisamente la $c$ deve soddisfare a questa unica condizione, che la $f (x, y) = C$ sia risolubile rispetto alla $y$ . Così, p. es., se per $x = a, y = b$ , le $f_{x}, f_{y}$ sono finite e continue, ed $f'_{x} ≠ 0$ , si può porre $C = f (a, b)$ . (Cfr. § 84, $β$ ).

[1] Più precisamente la $c$ deve soddisfare a questa unica condizione, che la $f (x, y) = C$ sia risolubile rispetto alla $y$ . Così, p. es., se per $x = a, y = b$ , le $f_{x}, f_{y}$ sono finite e continue, ed $f'_{x} ≠ 0$ , si può porre $C = f (a, b)$ . (Cfr. § 84, $β$ ).

[1]