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equazioni differenziali

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Ma:

$\left(2\,x\,y+{\frac {x^{4}}{4}}+Y\right)'_{y}=2\,x+Y'$.

Dovrà dunque essere:

$2x+y^{2}=2x+Y'$,

ossia:

$Y'=y^{2}$,

cioè:

$Y={\frac {y^{3}}{3}}+{\text{cost.}}$

Sarà dunque:

$f=2\,x\,y+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {y^{3}}{3}}+{\text{cost.}}$

E le funzioni $y$ di $x$ che risolvono la (5) sono le funzioni definite implicitamente dall'equazione:

$2\,x\,y\,+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {y^{3}}{3}}=C$.

dove $C$ è una costante arbitraria.

$\beta$) Se nella (3) la $M$ e la $N$ sono rispettivamente funzioni della sola $x$ e della sola $y$, il primo membro della (4) è certamente un differenziale esatto (§ 90, $\beta ).Lefunzioni<math>f$ che hanno per differenziale il primo membro della (4) sono espresse da

$\int M\,dx+\int \,N\,dy+{\text{cost}}$.

e le funzioni $y$ che soddisfano l'equazione differenziale proposta sono quelle definite implicitamente dall'equazione:

$\int \,M\,dx+\int \,N\,dy={\text{cost.}}$

Simili equazioni differenziali si dicono a variabili separate (cfr. § 90, $\beta$, pag. 299).

Così, ad esempio, si abbia da integrare l'equazione differenziale del primo ordine:

$-{\text{sen}}\,x\,dx+y\,dy=0$.