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capitolo xviii — § 110

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$\gamma$) Altro tipo di equazione differenziale ordinaria del primo ordine, che si può ridurre al tipo precedente, è quello din cui la $M(x,y)$ e a $N(x,y)$ che figurano nella (4) siano funzioni omogenee dello stesso grado $n$.

Ricordo che una funzione $x,y$ si dice funzione omogenea di grado zmath>n</math> se è uguale al prodotto di $x^{n}$ per una funzione di ${\frac {y}{x}}$.

Così, ad esempio: $x^{2}+y^{2}+xy$ è una funzione omogenea di 2 grado, perchè è uguale a

$x^{2}\left(1+\left({\frac {y}{x}}\right)^{2}+{\frac {y}{x}}\right)$.

È funzione omogena di grado ${\frac {1}{2}}$ la

${\sqrt {x+y}}$

poichè:

${\sqrt {x+y=}}{\sqrt {x\left(1+{\frac {y}{x}}\right)}}=x^{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {y}{x}}\right)^{\frac {1}{2}}$

Se nella (4):

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$,

la $M$ e $N$ sono funzioni omogenee dello stesso grado $n$, è facile indicare un metodo generale di integrazione. Infatti introduciamo la nuova variabile $z$ in luogo di $y$, ponendo:

                                                  ${\frac {y}{x}}=z$                    (8)

Dividendo la (4) per $x^{n}$, i coefficienti di $dx$ e $dy$ risultano funzioni del solo rapporto ${\frac {y}{x}}$; cioè si ha un'equazione del tipo:

                                        $\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)dx+\psi \left({\frac {y}{x}}\right)dy=0$.                    (9)

Intanto da:

${\frac {y}{x}}=z$ ovvero $y=zx$,

differenziando si ottiene:

                                        $dy=x\,dz+zdx$                              (10).