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equazionei differenziali

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Esempio.

La qualità di calore $Q$ data ad una massa di gas ne fa variare o la pressione $p$ o il volume $v$, o entrambe le $p,v$. Se noi, p. es., teniamo$v$ costante, varierà la pressione $p$; il rapporto ${\frac {dQ}{dt}}$, ove $dQ$ è la quantità di calore necessaria per far aumentare la temperatura $t$ di $dt$, + una costante $c$; il cosidetto calore specifico a volume costante. Sarà dunque $dQ=ctd$; l'incremento $dt$ di temperatura è dato da ${\frac {\partial t}{\partial p}}dp$; cosicchè infine:

$dQ=c{\frac {\partial t}{\partial p}}dp$.

Così pure, se con $C$ indichiamo il calore specifico a pressione costante, sarà:

$dQ=C{\frac {\partial t}{\partial v}}dv$

l'incremento di calore che si deve dare, affinchè il volume del gas (tenuto a pressione costante) aumenti di $dv$.

Cosicchè complessivamente

$dQ=c{\frac {partialt}{\partial p}}dp+c{\frac {\partial t}{\partial v}}dv$

è la quantità di calore necessaria per aumentare $p,v$ rispettivamente di $dp,dv$.

Ora noi ci chiediamo: Può $Q$ essere una funzione di $p,v$: ossia può una massa di gas, ritornando alle stesse condizioni (di temperatura e di pressione) possedere in ogni caso la stessa quantità di calore) Ciò che sembra la conseguenza più semplice dell'antica ipotesi dell'indistruttibilità del calore.

Se ci fosse, l'espressione sopra trovata per $dQ$ sarebbe un differenziale esatto. Di avrebbe cioè:

${\frac {\partial }{\partial v}}\left(c{\frac {\partial t}{\partial p}}\right)={\frac {\partial }{\partial p}}\left(C{\frac {\partial t}{\partial v}}\right)$ ossia $(C-c){\frac {\partial ^{2}t}{\partial p\partial v}}=0$

ciò che non è, perchè $C\not =c$, e $t={\frac {1}{R}}pv$, dove $R$ è una costante.

Se $c{\frac {\partial t}{\partial p}}dp+C{\frac {dt}{dv}}$ non è esatto, noi possiamo cercare di renderlo esatto moltiplicandolo per un moltiplicatore $\rho$.