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equazioni differenziali |
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Così, p. es., si trovino le soluzioni di
Le soluzioni della , ossia della sono quelle tali che , ossia tali che Le funzioni cercate sono tutte e sole le funzioni di , come è facile verificare.
L'Equazione di Eulero ( cost.)
Posto , tale equazione diventa . Perciò è funzione del rapporto . Altrettanto avverrà di . Perciò . In tal caso si dice che è funzione omogenea di grado n, perchè, moltiplicando x ed y per una stessa costante h, la resta moltiplicata per . Più in generale le soluzioni dell'equazione sono tutte e sole le funzioni omogenee di grado delle , cioè le funzioni del tipo . Infatti se consideriamo come funzioni delle variabili ; ; ; .....; , la nostra equazione diventa , donde ; ; dove (e quindi anche ) sono costanti rispetto alla , e ciop sono funzioni delle sole .
§ 111. — Tipi particolari di equazioni differenziali.
) Sia data l'equazione lineare1 del primo ordine omogenera2
, (1)
dove è una funzione continua della . Dividendo per (supposto per un momento diverso da zero) se ne deduce
, ossia .
È perciò , e quindi
( cost. arbitraria).
- ↑ Lineare perchè di primo grado nella e derivata .
- ↑ Omogenea perchè mancano termini di grado zero nelle . Vi è invece un tale termine nell'equazione che trattiamo in .