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equazioni differenziali 377

Negli altri tipi di equazioni del primo ordine da noi considerati, l'integrale generale contiene pure una costante arbitraria; in quelle del secondo ordine l'integrale generale ne contiene due.

Date le equazioni differenziali (del secondo ordine), che definiscono i movimenti in un sistema di punti, le traiettorie sono univocamente determinate quando di ogni punto siano date la posizione la velocità iniziale (cioè sieno dati per un certo istante i valori delle coordinate di ogni punto e delle loro derivate prime). Questo teorema è ben famigliare a chi abbia studiati anche i soli primi elementi della Meccanica Razionale.

Queste osservazioni sono caso particolare di un celebre teorema di Cauchy, che si potrebbe dimostrare col metodo delle approssimazioni successive, già da noi usato al § 84, , pag. 279, e in qualche caso col metodo degli sviluppi in serie di potenze, come accenneremo più avanti.

Se è data l'equazione differenziale

,

dove è (in qualche campo) una funzione continua e finita insieme alle sue derivate del primo ordine rispetto alle :

Esistono infinite funzioni che le soddisfano.

Esiste (in un intorno abbastanza piccolo di una ed una sola funzione che le soddisfa e tale che per essa e le successive derivate assumono rispettivamente valori prefissati 1, dpve le e le sono arbitrarie e sottoposte all'unica condizione che in un intorno del punto

la e le sue derivate prime sono finite e continue.

È sottinteso che, se la non soddisfacesse a questa ultima condizione, l'affermazione di questo teorema potrebbe benissimo essere falsa2.

  1. Cioè per è .
  2. Così, p. es., per un punto della curva dell'es. 1° del § 111, pag. 373, escono due curve (la , e la retta tangente a in ) che soddisfano all'equaz. studiata in tale esempio. Ciò esistono due funzioni soddisfacenti a tale equazione, le quali per assumono il valore . Dunque nell'intorno di non si può risolvere tale equazione rispetto ad , deducendone come funzione continua con derivate continue delle . Abbiamo verificato infatti che in tale punto non si può applicare il teorema delle funzioni implicite.